Archimedo kūnas

Archimedo briaunainiai – labai simetriški pustaisyklingiai iškilieji briaunainiai, sudaryti iš dviejų ar daugiau rūšių taisyklingųjų daugiakampių, kurie susieina identiškose viršūnėse. Jie skiriasi nuo Platono kūnų tuo, kad pastaruosius sudaro išimtinai vienodi ir tarpusavyje lygūs daugiakampiai, susieinantys į vienodas viršūnes, o nuo Džonsono kūnų tuo, kad šių sienas sudarantys taisyklingi daugiakampiai sudaro nevienodas viršūnes.

Nupjautinis ikosidodekaedras, turintis 120 viršūnių, yra didžiausias Archimedo briaunainis.

Sąvoka vienodos viršūnės paprastai reiškia, kad bet kurioms dviem viršūnėms galima pritaikyti izometrinę transformaciją, tinkančią visai figūrai, kad vieną viršūnę sutapdintume su kita. Kartais pasitenkinama reikalavimu, kad sienos susieinančios vienoje viršūnėje būtų izometriškai susijusios su sienomis, kurios susieina kitoje. Šis apibrėžimų skirtumas ypač svarbus, kai kalbama apie pseudorombinį kuboktaedrą: tai unikalus iškilas briaunainis, kurio taisyklingi sienų daugiakampiai vienodu būdu susieina kiekvienoje viršūnėje, bet jis neturi globalios simetrijos, pagal kurią kiekvieną viršūnę būtų galima sutapdinti su kitomis. Remdamasis šiuo faktu, Branko Grünbaumas pasiūlė (2009 m.) terminologiškai skirti šias dvi briaunainių šeimas ir Archimedo briaunainius apibrėžti kaip kiekvienoje viršūnėje turinčius vienodą viršūnės planą (įskaitant ir pseudorombinį kuboktaedrą), o tolygiuosius briaunainius apibrėžti kaip turinčius simetriškas viršūnes (vadinasi, neapimančius pseudorombinio kuboktaedro).

Prizmės ir antiprizmės, kurių simetrijos grupės yra dvisienės, bendru atveju nelaikomos Archimedo briaunainiais, nors jos ir atitinka tik ką pateiktą apibrėžimą. Taikant tokį apribojimą, turime tik baigtinę aibę Archimedo kūnų. Visus juos (išskyrus pseudorombinį kuboktaedrą), taikant Vithofo konstrukcijas (Wythoff constructions), galima sukurti iš Platono kūnų, kuriems būdinga tetraedrinė, oktaedrinė ir ikosaedrinė simetrija.

Pavadinimo kilmė

Šie briaunainiai pavadinti Archimedo vardu, kuris aprašė juos savo dabar jau prarastame veikale. Bet šį veikalą cituoja Papus Aleksandriškis, kuris teigia, kad Archimedas nurodė 13 briaunainių.^[1] Renesanso periodu menininkai ir matematikai labai vertino grynas formas ir jas tyrinėjo bei atrado iš naujo. Šias paieškas beveik galutinai užbaigė Johanas Kepleris^[2], kuris apibrėžė prizmes, antiprizmes ir neiškilius briaunainius vėliau imtus vadinti Keplerio-Puanso biriaunainiais.

Kepleris, tikėtina, atrado ir prailgintą kvadratinį girobikupolą (pseudorombinį kuboktaedrą): bent vieną kartą jis tikrai paminėjo, kad yra 14 Archimedo briaunainių. Deja, jo pateiktuose sąrašuose yra tik 13 tolygių briaunainių, o pirmą aikvaizdų liudijimą apie pseudorombinį kuboktaedrą sutinkame 1905 metais, Dunkano Somervilio (Duncan Sommerville) darbe.^[1]

Klasifikacija

Iš viso yra: 13 Archimedo briaunainių (pagal moderniausią apibrėžimą neįtraukiant pseudorombinio kuboktaedro, arba pailgo stačiakampio girobikupolo, kaip jis neretai vadinamas); 15 Archimedo briaunainių, jei dviejų enantiamorfiškų briaunainių veidrodinius atspindžius laikysime skirtingais kūnais.

Lentelės viršūnės plano langelyje įrašytos skaitinės reikšmės rodo, kokio tipo taisyklingi daugiakampiai susieina šioje viršūnėje. Pavyzdžiui, viršūnės plano skaitinės reikšmės (4,6,8) reiškia, kad viršūnėje susieina kvadratas, šešiakampis ir aštuoniakampis (daugiakampiai surašomi pagal laikrodžio rodyklę).

Pavadinimas (Alternatyvus pavad.)	Schläfli Coxeter	Skaidrus	Tankus	Išklotinė	Viršūnės planas	Sienos		Briaunos	Viršūnės	Taškinės simetr. grupė
nupjautinis tetraedras	{3,3}	(Animacija)			3.6.6	8	4 trikampiai 4 šešiakampiai	18	12	Td
kuboktaedras (rombtetratetraedras)	r{4,3} or rr{3,3} or	(Animacija)			3.4.3.4	14	8 trikampiai 6 kvadratai	24	12	Oh
nupjautinis kubas	t{4,3}	(Animacija)			3.8.8	14	8 trikampiai 6 aštuoniakampiai	36	24	Oh
nupjautinis oktaedras (nupjautinis tetratetraedras)	t{3,4} or tr{3,3} or	(Animacija)			4.6.6	14	6 kvadratai 8 šešiakampiai	36	24	Oh
rombinis kuboktaedras (mažasis rombinis kuboktaedras)	rr{4,3}	(Animacija)			3.4.4.4	26	8 trikampiai 18 kvadratų	48	24	Oh
nupjautinis kuboktaedras (didysis rombinis kuboktaedras)	tr{4,3}	(Animacija)			4.6.8	26	12 kvadratų 8 šešiakampiai 6 aštuoniakampiai	72	48	Oh
nusklembtas (angl. snub) kubas (nusklembtas kuboktaedras)	sr{4,3}	(Animacija)			3.3.3.3.4	38	32 trikampiai 6 kvadratai	60	24	O
ikosidodekaedras	r{5,3}	(Animacija)			3.5.3.5	32	20 trikampių 12 penkiakampių	60	30	Ih
nupjautinis dodekaedras	t{5,3}	(Animacija)			3.10.10	32	20 trikampių 12 dešimtkampių	90	60	Ih
nupjautinis ikosaedras	t{3,5}	(Animacija)			5.6.6	32	12 penkiakampių 20 šešiakampių	90	60	Ih
rombinis ikosidodekaedras (mažasis rombinis ikosidodekaedras)	rr{5,3}	(Animacija)			3.4.5.4	62	20 trikampiai 30 kvadratų 12 penkiakampių	120	60	Ih
nupjautinis ikosidodekaedras (didysis rombinis ikosidodekaedras)	tr{5,3}	(Animacija)			4.6.10	62	30 kvadratų 20 šešiakampių 12 dešimtkampių	180	120	Ih
nusklembtas dodekaedras (nusklembtas ikosidodekaedras)	sr{5,3}	(Animacija)			3.3.3.3.5	92	80 trikampių 12 penkiakampių	150	60	I

Pagal kai kuriuos pustaisyklingių briaunainių apibrėžimus, į šią šeimą įtraukiamas dar vienas briaunainis, pseudorombinio kuboktaedro, arba dar kitaip vadinamas pailgas stačiakampis girobikupolas.^[3]

Savybės

Archimedo kūnų viršūnių skaičius apskaičiuojamas 720° dalijant iš viršūnės kampo defekto.

Kuboktaedras ir ikosidodekaedas yra izotoksai (turi viebodas briaunas) ir priskiriami kvazitaisyklingiams briaunainiams.

Archimedo kūnų dualai yra vadinami Katalano kūnais. Kartu su bipiramidėmis ir trapecoedrais, jie yra tokie izoedrai, kurie turi taisyklingas viršūnes.

Chirališkumas

Nusklembtas (angl. snub) kubas ir nusklembtas dodekaedras yra chirališki, nes jie būna kairinės ir dešininės formos, todėl kūno trimatis pavidalas nesutampa su jo veidrodiniu atspindžiu. Kūno savybė turėti kairinę ir dešininę formą vadinama enantiomorfizmu, o patys kūnai gali būti vadinami enantiomorfais. Taigi minėtos dvi figūros (nusklembtas kubas ir nusklembtas dodekaedras) yra enantiomorfinės, arba tiesiog, enantiomorfai.

Archimedo kūnų konstravimas

Taip pat skaitykite – Tolygusis briaunainis, Konvėjaus briaunainio formulė.

Tarp atskirų Archimedo ir Platono kūnų egzistuoja sąryšiai, kuriuos galima aptikti, taikant bendras jų konstravimo pakopas. Pradžioje nupjauname Platono kūnų viršūnes. Kad būtų išlaikoma simetrija, pjovimo plokštuma turi būti statmena tiesei, jungiančiai viršūnę su briaunainio centru (visos viršūnės nupjaunamos vienodai). Pagal tai, kiek nupjaunama (žr. lentelę žemiau), susidaro įvairūs Platono ir Archimedo kūnai (taip pat, ir kitokie „tarpiniai“ briaunainiai). Pailgėjimas ir kanteliacija (angl. cantellation) yra tokios operacijos, kai briaunainio sienos tolinamos nuo jo centro (visos sienos vienodu atstumu, kad nebūtų pažeista Platono kūno simetrija) ir išgaubiant iš jų iškilus kupolus. Tempimas su pasukimu reiškia, kad sienos dar ir pasukamos, taip prie briaunų besišliejantys stačiakampiai palaipsniui virsta trikampiais. Paskutinė čia taikoma konstravimo pakopa – nupjauti kartu viršūnes ir briaunas. Kai tempimo metu nekeičiami pradiniai sienų matmenys (sienos tiesiog tolinamos viena nuo briaunainio centro), tokį tempimą galima laikyti nupjovimu, kai kartu pjaunamos viršūnės ir briaunos, išlaikant tam tikrą proporciją tarp kampo ir briaunų pokyčio.

Archimedo kūnų konstravimas

Simetrija		Tetraedrinė simetrija	Oktaedrinė simetrija		Ikosaedrinė simetrija
Pradinis kūnas Operacija	Simbolis {p, q}	Tetraedras {3,3}	Kubas {4,3}	Oktaedras {3,4}	Dodekaedras {5,3}	Ikosaedras {3,5}
Nupjovimas (t)	t{p, q}	nupjautinis tetraedras	nupjautinis kubas	nupjautinis oktaedras	nupjautinis dodekaedras	nupjautinis ikosaedras
Rektifikavimas (r) Konvėjaus[4]: Ambo (a)	r{p, q}	tetratetraedras	kuboktaedras		ikosidodekaedras
Dvigubas nupjovimas (2t) Konvėjaus: Dual kis (dk)	2t{p, q}	nupjautinis tetraedras	nupjautinis oktaedras	nupjautinis kubas	nupjautinis ikosaedras	nupjautinis dodekaedras
Dvigubas rektifikavimas (2r) Dualas (d)	2r{p, q}	tetraedras	oktaedras	kubas	ikosaedras	dodekaedras
Kanteliacija (rr) Pailgėjimas (e)	rr{p, q}	rombinis tetratetraedras	rombinis kuboktaedras		rombinis ikosidodekaedras
Nusklembimas ir rektifikavimas (sr) Nusklembtas (s)	sr{p, q}	nusklembtas tetratetraedras	nusklembtas kuboktaedras		nusklembtas ikosidodekaedras
Kanteliacija su nupjovimu (tr) Konvėjaus: Bevel (b)	tr{p, q}	nupjautinis tetratetraedras	nupjautinis kuboktaedras		nupjautinis ikosidodekaedras

Atkreipkite dėmesį į dualumą tarp kubo ir oktaedro bei tarp dodekaedro ir ikosaedro. O taip pat į tai, kad tetraedrinę simetriją turi tik vienas Archimedo kūnas, iš dalies dėl to, kad tetraedras yra dualus pats sau.