Bangų paketas

Fizikoje bangų paketas – bangų darinys, sudarytas iš didelio kiekio skirtingo dažnio koherentinių bangų. Skirtingo dažnio bangos interferuoja tarpusavyje, dėl šios superpozicijos pasekmės viename erdvės taške bangos viena kitą sustiprina ir gaunama maksimali svyravimų amplitudės vertė, kituose taškuose pozityviai interferuojančių bangų skaičius mažėja ir amplitudės vertė gaunama mažesnė. Grafiškai atvaizdavę tokį virpesį bei sujungę maksimalias amplitudės vertės, gautume bangų paketo gaubtinę. Šios gaubtinės judėjimo greitis yra lygus grupiniam greičiui.

Bangų paketas terpėje be dispersijos.

kvantinėje mechanikoje bangų paketas turi ypatingą prasmę: jis yra interpretuojamas kaip "tikimybinė banga", aprašanti tikimybę to, kad dalelė arba dalelės, esančios tam tikroje būsenoje matavimo metu, bus aptiktos duotame taške su duotu judesio kiekiu.

Šredingerio lygties pagalba yra įmanoma kvantinėje mechanikoje atskirti sistemos laikinę evoliuciją, panašiu būdu kaip klasikinėje mechanikoje tai atliekama Hamiltono formalizmo rėmuose. Bangų paketas yra matematinis Šredingerio diferencialinės lygties sprendinys. Po bangų paketą atvaizduojančios funkcijos grafiku esančio ploto kvadratas turi tikimybės rasti dalelė šioje erdvės srityje prasmę.

Koordinatiniame bangos atvaizdavime (pvz., Dekarto koordinatėse) bangos padėtis yra nusakoma bangų paketo padėtimi. Kuo siauresnis yra erdvėje bangų paketas, tuo labiau yra apibrėžta bangos padėtis, ir, tuo labiau neapibrėžtas bangos judesio kiekis. Šis ryšis tarp padėties ir judesio kiekio yra vienas iš Heizenbergo neapibrėžtumo pavyzdžių.

Istorija

Ankstyvais 1900-ais metais pasidarė akivaizdu, jog klasikinė fizika turi esminių problemų. I. Niutono pradinė idėja, kad šviesa atkeliauja link mūsų atskirais paketais, kuriuos jis pavadino "korpuskulomis", nesulaukė jo bendraamžių ir vėlesnių mokslininkų palaikymo. Banginė šviesos ir elektromagnetizmo interpretacija laimėjo prieš dalelinę. Tik 1930-ais metais dalelinės šviesos savybės susilaukė vis didesnio mokslininkų dėmesio. Kvantinės mechanikos vystymasis, jos sėkminga eksperimentinių reiškinių interpretacija, tapo tvirtu pagrindu korpuskulinės teorijos atgimimui.

Viena iš esminių kvantinės mechanikos sąvokų yra ta, kad šviesa atkeliauja diskrečiais energijos kiekiais, vadinamais fotonais. Šviesos pluošto energija yra diskreti dažnio funkcija:

${\displaystyle E=nhf}$

Energija yra sveikasis skaičius, n, fotonų skaičius, h - Planko konstanta, o f yra dažnis. Ši prielaida leido teoretikams išspręst problemą žinomą ultravioletinės katastrofos vardu.

Kvantinės mechanikos idėjos tebesivystė visą dvidešimtąjį amžių. Šios fizikos šakos sukurta pasaulio interpretacija yra nekasdienis pasaulis. Visa medžiaga bei elementarios fizikinės sąveikos yra sudarytos iš diskrečių dalelių. Tačiau, šios dalelės yra aprašomos tikimybine banga. Sąveikos, padėtys bei kiti detektuojami eksperimente objektai yra nustatomi skaičiuojant šių tikimybinių bangų amplitudes.

Bangų paketų matematika

Pavyzdžiui, panagrinėkime sekančios bangų lygties sprendinius:

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\nabla ^{2}u}}$

kur c yra bangos sklidimo greitis nagrinėjamoje terpėje. Pasinaudoję fizikiniu laiko ašies krypties susitarimu, ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$, bangų lygtis turi plokščios bangos tipo sprendinį:

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega t)}}$

kur ${\displaystyle |\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}}$.

Paprastumo dėlei, panagrinėkime bangas sklindančias viename matavime. Tuomet bendras sprendinys yra

${\displaystyle u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)}\,}$,

kur pirmas dėmuo atitinka bangą sklindančią teigiama x - ašies kryptimi, o antrasis dėmuo - neigiama.

Bangų paketas yra lokalizuotas trikdis, atsirandantis dėl daugelio bangų sudėties. Jei paketas yra stipriai lokalizuotas, yra būtinas didesnis kiekis dažnių tam, kad konstruktyvios interferencijos dėka turėtume signalą lokalizacijos srityje, o destruktyvios interferencijos dėka neturėtume signalo už šios srities ribų. Tuo būdu, bendra bangų paketo išraiška yra užrašoma kaip

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk}$.

Daugiklis ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ yra sąlygotas Furjė atvaizdavimo apibrėžimu. Amplitudė ${\displaystyle A(k)}$ neša informaciją apie plokščių bangų tiesinės superpozicijos koeficientus. Šie koeficientai savo ruožtu gali būti išreikšti kaip funkcijos ${\displaystyle f(x,t)}$, rastos laiko momentu ${\displaystyle t=0}$ atlikus atvirkštinę Furjė transformaciją:

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }f(x,0)~e^{-ikx}\,dx}$.

Ši diferencialinė lygtis turi paprasta sprendinį, atitinkanti Maksvelo skirstinio išraišką:

${\displaystyle A(k)=A_{0}~\exp(-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}|k-k_{0}|)}$

kur ${\displaystyle A_{o}}$ ir ${\displaystyle k_{o}}$ yra konstantos.

Taip pat skaitykite

• Grupinis greitis
• Fazinis greitis
• Signalinis greitis

Nuorodos

• J. D. Jackson (1975). Classical Electrodynamics (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X