Aplicaziun recipruca

In matematica, un'aplicaziun recipruca a l'è, in di termin sempliz, una funziun che la fa esatament l'invers de quel che la fa un'aplicaziun dada. L'aplicaziun recipruca la permet da retruvà un element a partì da la sua imagin per una aplicaziun dada; in alter parol, un'aplicaziun recipruca la disfa quel che l'aplicaziun uriginala l’ha faa.

Purtaal:matemàtica Artícuj relazziunaa a matemàtica

Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard, cun l'urtugrafia insübrica ünificada.

Per esempi, se cunsiderem la funziun x → 3x + 2, alura la sua aplicaziun recipruca l'è x → (x - 2) / 3, vargot che 'l se scriv abitüalment :

f : x → 3x + 2

‘‘y’’ = 3x + 2

x = 3’‘y’’ + 2

x - 2 = 3’‘y’’

(x - 2) / 3 = ‘‘y’’

f ^-1 : x → (x - 2) / 3

L'espusant « -1 » l'è minga una pudenza e f^-1 la curespund minga a l'invers d'una funziun per la multiplicaziun, però a l'invers per la cumpusiziun di funziun.

De fat, per che una funziun f l'ameta una aplicaziún recipruca, la gh’ha de vess bigetiva.

• ogni element del insema de rivada gh'ha de vess tucaa da f : sedenò el ghe sariss minga de mezz da definì l'imagin per f^-1 da vargün element.
• ogni element del insema de rivada gh’ha de vess tucaa dumà una volta da f : sedenò l'aplicaziun recipruca la mandariss quest element sü pü che un valur, e la sariss dunca minga una funziun.

Furmalament, l'aplicaziun recipruca d'un'aplicaziun bigetiva f d'un insema X sü un insema Y, l'è l'aplicaziú nutada f^-1 che a un element ‘‘y’’ del insema de rivada Y, la socia l'ünich antecedent x de ‘‘y’’ da f.

per tüt x de X, f^-1(f(x)) = x, per che f(x) el gh'ha per ünich antecedent x

per tüt ‘‘y’’ in Y, f(f^-1(‘‘y’’)) = ‘‘y’’, per che f el manda l'ünich antecedent de ‘‘y’’ sü ‘‘y’’.

Vargot se 'l pò scriv : ${\displaystyle f^{-1}\circ f=Id_{X}}$ e ${\displaystyle f\circ f^{-1}=Id_{Y}}$.

A l'è pussibil de definì la relaziun recipruca d'una funziun, minga furzadament bigetiva, cunsiderand la relaziun g inscì definida:

• el insema de definiziun de g a l'è l’imagin de ‘’ff’’;
• un element de questa imagin l'è mandaa süi sò antecedent da ‘’ff’’.

Sien I e J dò part de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle f:I\rightarrow J}$ una funziun bigetiva. Se representem graficament la funziun f in d'un pian cartesian, alura rl graf de f ^-1 a l'è 'l simetrich urtugunal del quel de f per raport a la drita d'equaziun ‘‘y’’ = x.

Se la pò determinà l'aplicaziun recipruca de f resulvend l'equaziun

’‘y’’ = f(x)

d'incognita x, e scambiand ‘‘y’’ e x per utegnì

’‘y’’ = f ^-1(x).

Quest chì a l'è minga semper facil o materialment pussibil.