In matematica, daa düü insema minga vöj E, F e una aplicaziun
, se 'l ciama antecedent (cun f) d'un element y de F tücc i element x de E tal che
.
Un antecedent a l'è, dunca, per definiziun, un element de l'imagin recipruca
.
- Sien la funziun
e y un real.
- Si y > 0, y l'amet düü antecedent, che hin
e ![{\displaystyle \ -{\sqrt {y}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0ea401936e1120b4b6a9f2f2750cce1759f134)
- Si y = 0, y l'amet dumà un antecedent, che l'è 0
- Si y < 0, y l'amet nissün antecedent
- Sien E un insema minga vöj, e una aplicaziun
, induve
el designa el insema dai part de E. Se 'l definiss
: Y a l'è una part de E, cugnussüü anca cume un element del insema
.
- Quest element l'amet nissün antecedent per f. In efet, süpusem che un tal antecedent
l'esista. Se gh'ha dunca
.
- Düü cas hin pussibil :
, vargot che 'l vör dì (per definiziun de Y) che
, o ![{\displaystyle \ x_{0}\not \in Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92803f83bd3bf436a3d2dd428c3a551eed93115)
, vargot che 'l vör dì (par definiziun de Y) che
, o ![{\displaystyle \ x_{0}\in Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ea507f5cecc9dbe0ff4257964ad89e64aef3d2)
- In di düü cas, se riva a una cuntradiziun , vargot che 'l pröva par l'assürd che Y el gh'ha minga d'antecedent (cf. l'argument de la diagunala de Cantor).
Sien una aplicaziun
e A un sübinsema da E. Se la ciama 'imagin de A per f el insema di element y de F che ameten almanch un antecedent partegnind a A ; se la nota
:
.
In particular, l'imagin de E par f, ciamada imagin de f, a l'è 'l insema di element y da F che ameten almanch un antecedent :
.
La sia un'aplicaziun
.
- Se dis che f a l’è ingetiva, o che a l'è una ingeziun, se tüt element de F a l'amet al pü un antecedent.
- Sa dis che f a l'è sürgetiva, o che a l'è una sürgeziun, se tüt element de F a l'amet almanch un antecedent, i.e. si
.
- Sa dis che f l'è bigetiva, o che l'è una bigeziun, si tüt element de F a l'amet un antecedent e dumà vün, i.e. se f l'è cuntempuraneament ingetiva e sürgetiva.
- In 'stu caas, se pò definì l'aplicaziun
, induve x a l'è l'ünica antecedent da ‘‘y’’ par f. A l'è anca una bigeziun, ciamada recipruca de f.
(l'esempi vidüü pü in alt el mustra che l'esist vargüna aplicaziun sürgetiva
).
- Ingeziun
- Sürgeziun
- Bigeziun