Gläichsäitegen Dräieck

E gläichsäitegen Dräieck ass en Dräieck mat dräi gläich laange Säite resp. Kanten souwéi dräi gläiche Wénkelen vu jee 60°. E gläichsäitegen Dräieck gëtt och als reegelméissegen Dräieck bezeechent an zielt zu de reegelméissege Polygonen. All gläichsäiteg Dräiecker gläiche sech. Gläichsäiteg Dräiecker si rotatiounssymmetresch (Dréiung ëm de Mëttelpunkt ëm 360°/3 = 120° oder Villfacht dovun), spigelsymmetresch (entspriechend den dräi [[Mediatrice (Geométrie)Mediatricen) a spëtzwénkleg. Hir Isometriegrupp ass d'Diedergrupp D₃. Mat gläichsäitegen Dräiecker ass déi vollstänneg Parkettéierung vun enger Fläch méiglech.

Berechnung a Konstruktioun

E gläichsäitegen Dräieck ass duerch eng Säitelängt ganz bestëmmt (kuckt Kongruenzsaz).

Gläichsäitegen Dräieck

Formele fir gläichsäiteg Dräiecker

Säitelängten	${\displaystyle a=b=c\,}$
Wénkel	${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }}$
Héicht	${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$
Volumen	${\displaystyle A\,=\,{\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$
Ëmfang	${\displaystyle u\,=\,3\cdot a}$
Radius vum baussenzege Krees	${\displaystyle r_{U}\,=\,{\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$
Radius vum bannenzege Krees	${\displaystyle r_{I}\,=\,{\frac {\sqrt {3}}{6}}a={\frac {1}{2}}\cdot r_{U}}$

D'Konstruktioun vun engem gläichsäitegen Dräieck mat Zirkel a Lineal ass dacks einfach. Wann d'Säitelängt resp. eng Säit als Streck virginn ass, dann zeechent een ëm déi béid Enner vun der Streck e Krees, deem säi Radius d'Streck selwer ass. Béid Kreesschnëttpunkte vun de Kreesser maache mat den Ennpunkte vun der virgesoter Streck e gläichsäitegen Dräieck. Wann dogéint de Krees vum gläichsäitegen Dräieck virginn ass, da konstruéiert ee fir d'éischt en Achsekräiz am Mëttelpunkt vum Krees. Déi vertikal Achs huet da mam Krees d'Schnëttpunkten C an D. Uschléissend gëtt e Kreesbou mam Radius vum Krees ëm de Punkt D gezeechent. Op dem Krees gëtt et dann d'Schnëttpunkten A a B. Wann elo d'Punkten A a B mat enger riichter Linn verbonne ginn, entsteet déi éischt Säit vum gesichte gläichsäitegen Dräieck ABC

Opbau vun engem gläichsäitegem Dräieck mat Zierkel a Lineal

Ausgezeechent Punkten

Am gläichsäitegen Dräieck leien Héicht, Mediatrice (Säitesymmetral), Mediane an d'Bissetrice vun enger Säit all Kéier op der selwechter Linn. Dofir sinn och den Héichteschnëttpunkt, de Kreesmëttelpunkter vum bannenzegen a baussenzege Krees, an de Schwéierpunkt Krees, de selwechte Punkt. Dëse Mëttelpunkt deelt d'Strecken am Verhältnes 2:1.

Begrëffsgeschicht

Nom Euklid gouf e gläichschenklegen Dräieck doduerch definéiert, datt et genee zwou gläichlaang Säiten huet, wougéint et haut haaptsächlech als en Dräieck mat op d'mannst zwou gläichlaange Säiten definéiert gëtt. Déi modern Definitioun schléisst domat am Géigesaz zu där vum Euklid de gläichsäitegen Dräieck (mat dräi d'selwecht laange Säiten) als e Spezialfall vum gläichschenkelegen Dräieck an.^[1]

Kuckt och

• Dräieck, allgemeng
• Gläichschenklegen Dräieck
• Rechtwénklegen Dräieck
• Ausgezeechent Punkten am Dräieck

Um Spaweck

Commons: Gleichseitiges Dreieck – Biller, Videoen oder Audiodateien

• Gläichsäitegt Dräieck op mathematesch-basteleien.de

Referenzen

1. Saul Stahl: Geometry from Euclid to Knots. Prentice-Hall, 2003, ISBN 0-13-032927-4, S. 37