선형대수학에서 파피안(영어: Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.
가환환
가 주어졌으며,
계수의
실수 반대칭 정사각 행렬
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 파피안
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {pf} A={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2n)}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\in K}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd47749f28472c6dfc66abe3806e833f67cd64cf)
여기서
은
의 순열들의 집합이다.
는 순열의 부호수이다.
위 공식을 따르면,
에서
의 역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이
번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로,
의 분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을
이라고 하자. 그 크기는
![{\displaystyle |\pi (2n)|={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb251ff380e7c37fce62aec33f81a2802b12868)
이다.
의 원소는 표준적으로
![{\displaystyle a=\{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dotsc ,\{a(2n-1),a(2n)\}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449c28abf92895ce7043d5932f1ddb8d39d425f2)
![{\displaystyle \forall k\colon a(2k)<a(2k+1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a890e9b71366bc2884923c8df7aefe694bbeb11)
![{\displaystyle a(1)<a(3)<a(5)<\dotsb <a(2k-1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98e8c5c5965a846ac664357c168073ab05f286a)
의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열
![{\displaystyle \{1,\dotsc ,2n\}\to \{1,\dotsc ,2n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ce22621aa880d266abafebd2108390c9a27590)
![{\displaystyle k\mapsto a(k)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be43c0f80b7fcd46dbcb3a05f582b174ec30b4d)
로 간주했을 때, 이는 포함 사상
을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {pf} A=\sum _{a\in \pi (2n)}\operatorname {sgn} (a)A_{a(1),a(2)}A_{a(3),a(4)}\dotsm A_{a(2n-1),a(2n)}\in K}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a781a34f2e7054fbe113aba89c70a7301b50ab66)
파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.
.
짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은
의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle \det A=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\cdots \lambda _{n}^{2}=\left(\operatorname {pf} A\right)^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afe1408531ec1b5818a09c9aca175719aef6999)
홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.
짝수 차원 반대칭 행렬
는 다음과 같이 2차 미분 형식
로 나타낼 수 있다.
.
그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.
![{\displaystyle \omega ^{n}/n!=\operatorname {pf} (A)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{2n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571d76a8175d123f5a6d9b02313aee9f04d5b9bc)
파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며,[1] 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.
“ |
파프의 미분 방정식에 대한 연구와 연관이 있으므로, 이런 유의 순열식(順列式)은 “파피안”이라고 부르도록 하겠다.
[…] the permutants of this class (from their connexion with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term “Pfaffians.” |
” |
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