물리학의 역학에서, 변형[1](strain) 또는 변형률[2]은 응력으로 인해 발생하는 재료의 기하학적 변형을 나타낸다. 즉, 변형은 형태나 크기의 변화를 의미한다.
변형은 역학 용어로, 연속체의 변위를 변형하여 더욱 자세하게 설명하는 것이다.
공학에 있어서 변형도는 다음과 같이 정량화해 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \epsilon ={\frac {\delta \ell }{\ell _{0}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26b53469da3d15b12e757024296cf0580a7ef37)
여기서
는 재료의 초기 길이이며,
은 양(인장일 경우) 또는 음(압축일 경우)의 값을 가질 수 있다. 변형도는 무차원의 값이며, 종종 m/m, in./in. 또는 %로 나타낸다.
층밀림 변형
공학적 층밀림 변형[3](shear strain, 전단 변형) γxy는 선분 AC와 AB 사이의 각도의 변화로 정의되어있다. 따라서,
![{\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de672680fe1c7e78d5d3187d432d814311f4214)
물체의 기하학(geometry of the figure)으로부터, 우리는 아래와 같은 식을 가진다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce730390cc6019e0ec20a5120d4dcaf301e297a9)
작은 변위 기울기(small displacement gradient)를 위해, 우리는 아래와 같은 식을 가진다.
![{\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ffb4c958cd83e85a00fe5ea9094b6588a8e6f8)
작은 회전을 위해, 예를 들어 α와 β가 ≪ 1 이고, 우리가 tan α ≈ α, tan β ≈ β를 가진다고 가정하자. 따라서,
그러므로
![{\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f89d140b5e017430a1de77c5554e1af080df36)
x와 y와 ux와 uy를 교환함으로써, 이 식은 γxy = γyx와 같이 된다.
비슷하게, yz- 와 xz-평면을 위해서, 우리는 아래와 같은 식을 가진다.
![{\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47a1b5d92e97d82c32d925c8066de22a9fe6fd4)