수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.
실수 함수
0이 아닌 실수
및 실수 부분 집합
및 실수 함수
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수
를 주기 함수라고 하고, 실수
를
의 주기(週期, 영어: period)라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
인 유한 실수 구간
이 존재한다. 즉,
의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
- 여기서
이며,
이다. 즉,
는 함수의 그래프를 수평 방향으로
만큼 평행 이동하는 변환이다.
이에 따라, 다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
인 유한 실수 구간
이 존재한다.
기본 주기
실수 주기 함수
및 실수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수
를
의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.
는 양의 최소 주기이다.
. 즉,
의 주기는 곧
이다.
실수 주기 함수
의 주기와 0의 집합을
로 적자. 즉,
![{\displaystyle \operatorname {prd} f=\{t\in \mathbb {R} \colon f(x+t)=f(x)\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61275e1d3db3419509df6fb3cda38156997b5472)
이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,
- 임의의
에 대하여,
이다.
- 특히, 임의의
및
에 대하여,
이다.
따라서
는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.