이항 관계
순서쌍들로 이루어지는 집합 / From Wikipedia, the free encyclopedia
수학에서 이항 관계(二項關係, 영어: binary relation)는 “…는 …보다 크다” 또는 “…와 …는 같다”와 같이, 두 대상에 대하여 정의되는 성질을 집합론적으로 실현한 개념이다. 이항 관계는 순서쌍들로 구성된 집합이다. 어떤 순서쌍이 이항 관계의 원소라면, 순서쌍의 두 성분 사이에 관계가 성립한다고 해석한다.
예를 들어, “…는 …의 약수”라는 조건은 두 정수 사이의 이항 관계 를 정의한다. 이 이항 관계는 구체적으로 이 의 약수인 경우의 모든 순서쌍 들의 집합이다. 은 이 이항 관계의 원소이며, 은 이항 관계의 원소가 아니다 (5는 20의 약수이며, 6은 13의 약수가 아니다). 보통 나 대신
와 같이 적는다.
이항 관계의 개념은 모임 위로 확장할 수 있다. 모임 위의 이항 관계는 모임이며, 고유 모임일 수 있다. 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없으므로, 주어진 두 모임 사이의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 없다. 반면, 주어진 집합 위의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 있으며, 이는 항상 집합이다.
이항 관계는 관계의 항수가 2인 경우이다. 이항 관계의 이론은 다른 항수의 관계보다 풍부하다. 일부 문헌에서는 이항 관계를 단순히 관계라고 부른다. 혹자는 이항 관계를 대응(對應, correspondence)이라고 일컫는다.