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수론에서 이차 상호 법칙(二次相互法則, 영어: law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수가 서로에 대하여 제곱잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리다.
이차 상호 법칙에 따르면, 와 가 서로 다른 홀수 소수일 때, 이차 합동식
에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.
서로 다른 두 홀수 소수 와 에 대하여 르장드르 기호 는 가 에 대한 제곱잉여일 때 , 그렇지 않을 때 로 정의된다.
르장드르 기호를 이용하면, 이차 상호 법칙을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
우변은 와 를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 이 된다.
위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 과 이 서로소일 때,
이 성립한다.
또한, 가 소수라면 다음 두 법칙이 성립한다.
이를 각각 이차 상호 법칙의 제1 보충(二次相互法則의第一補充, 영어: first supplement to quadratic reciprocity)과 이차 상호 법칙의 제2 보충(二次相互法則의第二補充,영어: second supplement to quadratic reciprocity)이라고 한다.
가우스 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. 가 2가 아닌 가우스 소수이며, 가 의 배수가 아닌 가우스 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.
그렇다면 다음이 성립한다.
여기서
는 가우스 정수의 체 노름이다.
서로 다른 두 가우스 소수 에 대하여,
라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
또한, 및 에 대하여 다음이 성립한다.
아이젠슈타인 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. 가 아이젠슈타인 소수이며, 이라고 하자. 또한, 가 의 배수가 아닌 아이젠슈타인 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.
그렇다면 다음이 성립한다.
여기서
는 아이젠슈타인 정수의 체 노름이다.
서로 다른 두 아이젠슈타인 소수 가
의 꼴이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
또한, 다음이 성립한다.
레온하르트 오일러와 아드리앵마리 르장드르는 이차 상호 법칙을 추측하였으나 증명하지 못했다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones arithmeticae 디스퀴시티오네스 아리트메티카이[*])에서 최초로 이차 상호 법칙을 증명하였다. 가우스는 이차 상호 법칙을 "기본 정리"(라틴어: Theorema fundamentale 테오레마 푼다멘탈레[*])라고 불렀고, 이에 대하여 다음과 같이 적었다.
“ | 이 종류의 정리들 가운데 가장 우아한 정리인 기본 정리는 나 이전의 그 누구도 이렇게 간단한 형태로 서술하지 못하였다. Theorema fundamentale, quod sane inter elegantissima in hoc genere est referendum, in eadem forma simplici, in qua supra propositum est, a nemine hucusque fuit prolatum. |
” |
가우스는 평생에 걸쳐 이차 상호 법칙의 8가지 다른 증명을 제시하였다.[1]
가우스 이후, 현재까지 발표된 이차 상호 법칙의 증명들은 200여 개에 이르며, 최근까지도 꾸준히 새로운 증명들이 발표되고 있다.[1]
두 홀수 소수들 사이의 제곱 잉여 여부를 표로 나타내면 다음과 같다. 이차 상호 법칙에 따라, 표가 대각선을 중심으로 대칭이거나 반대칭임을 알 수 있다.
R | q는 제곱잉여 (mod p) | q ≡ 1 (mod 4) 또는 p ≡ 1 (mod 4) |
N | q는 제곱잉여가 아님 (mod p) | |
R | q는 제곱잉여 (mod p) | q ≡ p ≡ 3 (mod 4) |
N | q는 제곱잉여가 아님 (mod p) |
q | |||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | ||
p | 3 | N | R | N | R | N | R | N | N | R | R | N | R | N | N | N | R | R | N | R | R | N | N | R | |
5 | N | N | R | N | N | R | N | R | R | N | R | N | N | N | R | R | N | R | N | R | N | R | N | ||
7 | N | N | R | N | N | N | R | R | N | R | N | R | N | R | N | N | R | R | N | R | N | N | N | ||
11 | R | R | N | N | N | N | R | N | R | R | N | N | R | R | R | N | R | R | N | N | N | R | R | ||
13 | R | N | N | N | R | N | R | R | N | N | N | R | N | R | N | R | N | N | N | R | N | N | N | ||
17 | N | N | N | N | R | R | N | N | N | N | N | R | R | R | R | N | R | N | N | N | R | R | N | ||
19 | N | R | R | R | N | R | R | N | N | N | N | R | R | N | N | R | N | N | R | N | R | N | N | ||
23 | R | N | N | N | R | N | N | R | R | N | R | N | R | N | R | N | N | R | R | N | N | N | N | ||
29 | N | R | R | N | R | N | N | R | N | N | N | N | N | R | R | N | R | R | N | N | R | N | N | ||
31 | N | R | R | N | N | N | R | N | N | N | R | N | R | N | R | N | R | R | N | N | N | N | R | ||
37 | R | N | R | R | N | N | N | N | N | N | R | N | R | R | N | N | R | R | R | N | R | N | N | ||
41 | N | R | N | N | N | N | N | R | N | R | R | R | N | N | R | R | N | N | R | N | R | N | N | ||
43 | N | N | N | R | R | R | N | R | N | R | N | R | R | R | R | N | R | N | N | R | R | N | R | ||
47 | R | N | R | N | N | R | N | N | N | N | R | N | N | R | R | R | N | R | N | R | R | R | R | ||
53 | N | N | R | R | R | R | N | N | R | N | R | N | R | R | R | N | N | N | N | N | N | R | R | ||
59 | R | R | R | N | N | R | R | N | R | N | N | R | N | N | R | N | N | R | N | R | N | N | N | ||
61 | R | R | N | N | R | N | R | N | N | N | N | R | N | R | N | N | N | N | R | N | R | N | R | ||
67 | N | N | N | N | N | R | R | R | R | N | R | N | N | R | N | R | N | R | R | N | R | R | N | ||
71 | R | R | N | N | N | N | R | N | R | N | R | N | R | N | N | N | N | N | R | R | R | R | N | ||
73 | R | N | N | N | N | N | R | R | N | N | R | R | N | N | N | N | R | R | R | R | N | R | R | ||
79 | N | R | N | R | R | N | R | R | N | R | N | N | N | N | N | N | N | R | N | R | R | R | R | ||
83 | R | N | R | R | N | R | N | R | R | R | R | R | N | N | N | R | R | N | N | N | N | N | N | ||
89 | N | R | N | R | N | R | N | N | N | N | N | N | N | R | R | N | N | R | R | R | R | N | R | ||
97 | R | N | N | R | N | N | N | N | N | R | N | N | R | R | R | N | R | N | N | R | R | N | R |
제곱 잉여 문제의 일부 예는 다음과 같다.
(p, q) | |||
---|---|---|---|
(3,7) | 해 없음 | ||
(3,5) | 해 없음 | 해 없음 | |
(5,11) | |||
(5, 13) | 해 없음 | 해 없음 | |
(13, 17) |
일반적으로 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.
예를 들어, 다음 합동식
이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 의 값을 구하면 된다.
르장드르 기호의 성질에 의해,
이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해
이고
이다. 따라서
이므로, 57은 127에 대한 제곱잉여가 아니다.
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