부채꼴

부채꼴(circular sector)은 원에서 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역이다. 선상(扇狀)이라고도 한다. 중심각이 180˚인 부채꼴을 반원이라고 부르며, 원은 중심각이 360˚인 부채꼴이라고 생각할 수 있다.

연두색으로 색칠된 부분이 부채꼴이다.

공식

호의 길이

부채꼴의 호의 길이는 라디안의 정의를 이용하여 구할 수 있다. 1라디안은 반지름과 호의 길이가 같을 때의 각의 크기이므로 호의 길이는 반지름과 각의 곱으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle L=r\theta }$

전체 둘레

부채꼴의 둘레는 부채꼴 호의 길이 + 반지름 2개 이므로, 아래와 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle s=L+2r=r(\theta +2)}$

넓이

부채꼴의 넓이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

중심각을 ${\displaystyle \theta }$, 원의 반지름을 ${\displaystyle r}$로 두자. 그러면 원의 넓이는 ${\displaystyle \pi r^{2}}$이다. 부채꼴의 넓이는 원의 넓이에 중심각의 크기와 ${\displaystyle 2\pi }$의 비를 곱하면 구할 수 있다. 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 비례하고, 원 전체의 중심각 크기는 ${\displaystyle 2\pi }$이기 때문이다.

${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}=r^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1}{2}}r^{2}\theta }$

여기에 ${\displaystyle \theta =\left({\frac {L}{r}}\right)}$를 대입하면

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}rL}$

그리고 만약 ${\displaystyle \theta }$가 도(°) 단위로 주어졌다면 다음과 같은 식이 얻어진다.

${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360}}}$

성질

부채꼴의 양쪽 면을 서로 연결하여 붙이면 원뿔이다. 이때 부채꼴의 호는 원뿔의 밑면의 원의 둘레가 된다.

• 부채꼴의 넓이(원뿔의 옆넓이 면적)

${\displaystyle \pi \left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)^{2}\cdot {{2\pi r} \over {2\pi \left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}}}$

${\displaystyle =\pi \left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)^{2}\cdot {{{\cancel {2\pi }}r} \over {{\cancel {2\pi }}\left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}}}$

${\displaystyle ={{\pi \left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)^{2}\cdot {r}} \over {\left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}}}$

${\displaystyle ={\pi {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\cdot {r}}}$

${\displaystyle =\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

같이 보기

• 원
• 타원
• 활꼴
• 원뿔