하디-리틀우드 원 방법

해석적 수론에서 하디-리틀우드 원 방법(영어: Hardy–Littlewood circle method)은 수열의 점근적 근사치를 복소해석학을 통해 계산하는 방법이다.

정의

수열 ${\displaystyle a_{k}}$의 ${\displaystyle k\to \infty }$ 극한에서의 점근적 성장을 유도하고 싶다고 하자. 그렇다면 하디-리틀우드 원 방법은 다음과 같다.

1. 생성함수 ${\displaystyle f(z)=\sum _{k}a_{k}z^{k}}$를 정의한다.
2. 급수 ${\displaystyle f(z)}$는 보통 ${\displaystyle |z|=1}$에서 발산하게 된다. 이 경우 발산하는 정도, 즉 ${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}f(r\exp(i\theta ))}$를 계산한다.
3. 그렇다면 수열 ${\displaystyle a_{n}}$은 ${\displaystyle f(z)/z^{n+1}}$의 유수로 계산할 수 있다. 즉, 이는 ${\displaystyle \exp(i\theta )}$ 꼴의 원에 대한 선적분으로 주어진다.
4. 보통, 이 선적분은 유리수 ${\displaystyle \theta =2\pi m/n}$에 집중되며, ${\displaystyle n}$이 작을 수록 이에 해당하는 항이 더 중요해진다. 따라서, 이 선적분은 유리 ${\displaystyle n}$ 근처에서의 적분으로 주어진다.

예

하디-리틀우드 원 방법은 다양한 문제에 적용될 수 있다.

• 웨어링의 문제
• 분할수 ${\displaystyle p(n)}$의 점근적 표현. 이 경우 ${\displaystyle f(z)}$는 데데킨트 에타 함수에 주어지며, 그 모듈러 성질에 의해 계산할 수 있다. 보다 일반적으로, 생성함수가 모듈러 형식을 이루는 경우 이와 같이 계산할 수 있다.
• 약한 골드바흐의 추측

참고 문헌

• Apostol, Tom M. (1990). 《Modular functions and Dirichlet series in number theory》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-97127-8.
• Vaughan, Robert Charles (1997). 《The Hardy–Littlewood method》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 125 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57347-4.
• Ayoub, Raymond George (1963). 《An Introduction to the analytic theory of numbers》. Mathematical Surveys (영어) 10. American Mathematical Society. OCLC 476776. Zbl 0128.04303.

외부 링크

• “Circle method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Trigonometric sums, method of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Vinogradov method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Circle method”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Tao, Terence (2012년 5월 20일). “Heuristic limitations of the circle method”. 《What’s New》 (영어).