피카르의 정리

복소해석학에서 피카르의 대정리(영어: Picard’s great theorem)와 피카르의 소정리(영어: Picard’s little theorem)는 정칙 함수의 특이점 근처에서의 상에 대한 정리다.

다른 뜻에 대해서는 피카르-린델뢰프 정리 문서를 참고하십시오.

정의

리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ 및 점 ${\displaystyle z_{0}\in \Sigma }$가 주어졌다고 하고, 정칙 함수

${\displaystyle f\colon \Sigma \setminus \{z_{0}\}\to {\widehat {\mathbb {C} }}}$

가 ${\displaystyle z_{0}}$에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in {\widehat {\mathbb {C} }}}$이 존재한다.

• 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni z_{0}}$ 및 임의의 ${\displaystyle w\in {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{w_{1},w_{2}\}}$에 대하여, ${\displaystyle w=f(z_{1})=f(z_{2})=f(z_{3})=\cdots }$인 ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\dots \in U}$가 존재한다.

따름정리

피카르의 소정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.

• ${\displaystyle f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \exists w_{0}\in \mathbb {C} \colon f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{w_{0}\}}$
• ${\displaystyle \exists w_{0}\in \mathbb {C} \colon f(\mathbb {C} )=\{w_{0}\}}$

이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.

피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉, ${\displaystyle \Sigma ={\widehat {\mathbb {C} }}}$이며 ${\displaystyle z_{0}={\widehat {\infty }}}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle f\colon {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{{\widehat {\infty }}\}\to \mathbb {C} }$는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.

• 만약 ${\displaystyle f}$가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라 ${\displaystyle f}$는 상수 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle f}$가 무한대에서 극점을 갖는다면, ${\displaystyle f}$는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라 ${\displaystyle f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} }$이다.
• 만약 ${\displaystyle f}$가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 ${\displaystyle f(\mathbb {C} )={\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{w_{1},w_{2}\}}$의 꼴이며, ${\displaystyle f(\mathbb {C} )\subset \mathbb {C} }$이므로 ${\displaystyle w_{2}={\widehat {\infty }}}$로 놓을 수 있다.

예

함수 ${\displaystyle z\mapsto \exp(1/z)}$는 ${\displaystyle z=0}$에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은

${\displaystyle \{w_{1},w_{2}\}=\{0,{\widehat {\infty }}\}}$

이다.

위 예에 뫼비우스 변환을 가해, ${\displaystyle \{w_{1},w_{2}\}}$가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.

역사

에밀 피카르의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Greene, Robert E.; Steven G. Krantz. 《Function theory of one complex variable》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 40 3판. ISBN 978-0-8218-3962-1. MR 2215872. Zbl 1114.30001. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Picard theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's little theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's great theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.