포인팅 벡터

포인팅 벡터(Poynting vector)는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다.

역사

영국의 존 헨리 포인팅(John Henry Poynting)이 1883년에 유도하였다.^[1]

정의

포인팅 벡터 S는 국제단위계에서 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

CGS 단위계에서는 ${\displaystyle 1/\mu _{0}}$ 대신 ${\displaystyle c/4\pi }$를 쓴다.

성질

포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(energy flux density, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.

전자기장의 운동량과 각운동량

포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 ${\displaystyle \mathbf {p} }$와 각운동량 ${\displaystyle \mathbf {L} }$과도 다음과 같이 연관되어 있다.

${\displaystyle \mathbf {p} =\mu _{0}\epsilon _{0}\int _{V}\mathbf {S} d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mu _{0}\epsilon _{0}\int _{V}(\mathbf {r} \times \mathbf {S} )d\tau }$

포인팅 정리

포인팅 정리(Poynting's theorem)는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})d\tau -{\frac {1}{\mu _{0}}}\oint _{S}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {a} }$

우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{V}u_{mech}d\tau }$

${\displaystyle u_{em}={\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})}$

역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u_{mech}+u_{em})=-\nabla \cdot \mathbf {S} }$

각주

1. Poynting, John Henry (1834년 1월). “On the transfer of energy in the electromagnetic field”. 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London》 175: 343–361. doi:10.1098/rstl.1884.0016. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)