페르마 다각수 정리

페르마의 다각수 정리(Fermat polygonal number theorem, -多角數 定理)는 프랑스 수학자 피에르 드 페르마의 이름이 붙은 정수론의 정리로, 다음과 같은 내용이다.

• 임의의 자연수는 많아야 n개의 n각수의 합으로 표현 가능하다.

예를 들어, 임의의 자연수는 많아야 3개의 삼각수 혹은 5개의 오각수 등의 합으로 표현 가능하다는 것이다. 예로 73을 생각해 보면,

• 73 = 36 + 36 + 1 (삼각수)
• 73 = 49 + 16 + 4 + 4 (사각수)
• 73 = 70 + 1 + 1 + 1 (오각수)
• 73 = 28 + 28 + 15 + 1 + 1 (육각수)

등등이 된다. 이 정리를 처음 제시한 페르마는 증명 없이 내용을 기술만 하였고, 다른 저작에서 증명을 서술할 것을 약속하였으나 결국 그러한 저작은 쓰지 못했다.^[1] 이후 이 정리를 증명하려는 수학자들의 노력이 이어졌는데, 사각수의 경우에는 조제프루이 라그랑주가 1770년 증명하였다. 삼각수의 경우는 1796년 카를 프리드리히 가우스가 증명하였다.^[2] 그리고 마지막으로 오귀스탱 루이 코시가 1813년 n각수에 대해 증명을 발표하였다.^[1]

폴록의 추측

이와 관련된 미해결 문제로 폴록의 사면체수 추측과 폴록의 팔면체수 추측이라는 것이 있다. 이는 다음과 같은 내용으로, 영국의 정치인 프레더릭 폴록(Frederick Pollock)이 1850년 제시하였다.

• 임의의 자연수는 많아야 다섯 개의 사면체수의 합으로 표현 가능하다.
• 임의의 자연수는 많아야 일곱 개의 팔면체수의 합으로 표현 가능하다.

같이 보기

• 다각수
• 라그랑주 네 제곱수 정리
• 웨어링의 문제

각주

1. Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, p. 188.
2. Bell, Eric Temple (1956), "Gauss, the Prince of Mathematicians", in Newman, James R., The World of Mathematics, I, Simon & Schuster, pp. 295–339. Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8.

외부 링크

• 페르마의 다각수 정리 - 매스월드