확률변수의 특성함수(特性函數, 영어: characteristic function)는 각각의 확률 분포와 일대일 대응이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다. 실수 t {\displaystyle t} 에 대해, 확률변수 X {\displaystyle X} 의 특성함수 φ X ( t ) {\displaystyle \varphi _{X}(t)} 는 다음과 같이 정의된다. φ X ( t ) = E [ e i t X ] = ∫ R e i t x f ( x ) d x {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}f(x)\,dx} . 여기서 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 X {\displaystyle X} 의 확률밀도함수이다. 다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수와 특성함수의 목록이다. 자세한 정보 ... 분포 모멘트생성함수 특성함수 이항 분포 B(n, p) ( 1 − p + p e t ) n {\displaystyle \,(1-p+pe^{t})^{n}} ( 1 − p + p e i t ) n {\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}} 푸아송 분포 Pois(λ) e λ ( e t − 1 ) {\displaystyle \,e^{\lambda (e^{t}-1)}} e λ ( e i t − 1 ) {\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}} 연속균등분포 U(a, b) e t b − e t a t ( b − a ) {\displaystyle \,{\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}} e i t b − e i t a i t ( b − a ) {\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}} 정규분포 N(μ, σ2) e t μ + 1 2 σ 2 t 2 {\displaystyle \,e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}} e i t μ − 1 2 σ 2 t 2 {\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}} 카이제곱 분포 χ2k ( 1 − 2 t ) − k / 2 {\displaystyle \,(1-2t)^{-k/2}} ( 1 − 2 i t ) − k / 2 {\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}} 감마 분포 Γ(k, θ) ( 1 − t θ ) − k {\displaystyle \,(1-t\theta )^{-k}} ( 1 − i t θ ) − k {\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}} 지수분포 Exp(λ) ( 1 − t λ − 1 ) − 1 {\displaystyle \,(1-t\lambda ^{-1})^{-1}} ( 1 − i t λ − 1 ) − 1 {\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}} 다변량 정규분포 N(μ, Σ) e t T μ + 1 2 t T Σ t {\displaystyle \,e^{t^{\mathrm {T} }\mu +{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}} e i t T μ − 1 2 t T Σ t {\displaystyle \,e^{it^{\mathrm {T} }\mu -{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}} 퇴화분포 δa e t a {\displaystyle \,e^{ta}} e i t a {\displaystyle \,e^{ita}} 라플라스 분포 L(μ, b) e t μ 1 − b 2 t 2 {\displaystyle \,{\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}}} e i t μ 1 + b 2 t 2 {\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}} 코시 분포 Cauchy(μ, θ) 정의되지 않음 e i t μ − θ | t | {\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}} 음이항 분포 NB(r, p) ( p e t ) r ( 1 − ( 1 − p ) e t ) r {\displaystyle \,{\frac {(pe^{t})^{r}}{(1-(1-p)e^{t})^{r}}}} p r ( 1 − ( 1 − p ) e i t ) r {\displaystyle \,{\frac {p^{r}}{(1-(1-p)e^{it})^{r}}}} 닫기 Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.Wikiwand for ChromeWikiwand for EdgeWikiwand for Firefox
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