유니터리 행렬

선형대수학에서 유니터리 행렬(영어: unitary matrix)는 켤레 전치가 역행렬과 같은 복소수 정사각 행렬이다.

정의

복소수 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle U}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle U}$를 유니터리 행렬이라고 한다.

• ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$
• ${\displaystyle UU^{*}=1_{n\times n}}$
• ${\displaystyle U^{*}U=1_{n\times n}}$
• ${\displaystyle U}$의 열들은 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 정규 직교 기저를 이룬다.
• ${\displaystyle U}$의 행들은 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 정규 직교 기저를 이룬다.
• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$에서, 모든 정규 직교 기저 ${\displaystyle B}$에 대하여, ${\displaystyle U(B)}$는 정규 직교 기저이다.
• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$에서, 어떤 정규 직교 기저 ${\displaystyle B}$에 대하여, ${\displaystyle U(B)}$는 정규 직교 기저이다.
• ${\displaystyle U}$는 정규 행렬이며, 모든 고윳값의 절댓값은 1이다.
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} ^{n}}$에 대하여, ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$.
• 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert }$.

여기서 ${\displaystyle (-)^{*}}$는 켤레 전치, ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$는 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 표준 내적, ${\displaystyle \Vert {-}\Vert }$는 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 표준 노름이다.

성질

실수 행렬의 경우 유니터리 행렬은 직교 행렬과 동치이다.^[1]:304

유니터리 행렬 ${\displaystyle U}$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 정규 행렬이다.
• 대각화 가능하다. 이는 스펙트럼 정리의 결과에 따라 ${\displaystyle U}$가 대각행렬과 유니터리하게 닮음이란 것이다. ${\displaystyle U}$는 ${\displaystyle U=VDV^{*}}$와 같이 분해할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle V}$는 유니터리 행렬, ${\displaystyle D}$는 대각 유니터리 행렬이다.
• ${\displaystyle |{\det U}|=1}$
• ${\displaystyle U}$의 고유 공간은 정규 직교다.
• ${\displaystyle U=e^{iH}}$인 에르미트 행렬 ${\displaystyle H}$가 존재한다. (${\displaystyle e^{(-)}}$는 행렬 지수 함수)

모든 ${\displaystyle n\times n}$ 유니터리 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 따라 군을 이루며, 이를 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$이라고 한다.

예

복소수 ${\displaystyle 1\times 1}$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }\end{pmatrix}}\qquad \theta \in \mathbb {R} }$

복소수 ${\displaystyle 2\times 2}$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-{\bar {b}}e^{i\theta }&{\bar {a}}e^{i\theta }\end{pmatrix}}\qquad |a|^{2}+|b|^{2}=1,\;\theta \in \mathbb {R} }$

같이 보기

• 에르미트 행렬
• 행렬 분해
• 직교군
• 직교행렬
• 특수 유니터리 군
• 심플렉틱 행렬
• 유니터리 군
• 유니터리 작용소

각주

1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.