에너지 조건

일반 상대성 이론에서 에너지 조건(energy條件, 영어: energy condition)은 물리적으로 "현실적인" 시공간의 리치 곡률이 만족시켜야 한다고 가정할 수 있는 여러 조건 가운데 하나이다.^{[1]:§4.3[2]:174–177[3][4]} 아인슈타인 방정식에 따라 시공간의 리치 곡률은 그 위에 존재하는 물질의 에너지-운동량 텐서로 주어지므로, 이는 물리적으로 "현실적인" 물질에 대한 조건으로도 볼 수 있다.

정의

−+++ 계량 부호수를 사용하자. 시공간 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에 에너지-운동량 텐서 ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$가 주어졌다고 하자. 또한, 시공간은 시간 방향(time orientation)이 주어져 있다고 하자. 따라서, 모든 벡터를 미래 방향 시간꼴 벡터 · 과거 방향 시간꼴 벡터 · 미래 방향 영벡터 · 과거 방향 영벡터 · 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 대각합 ${\displaystyle T=g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$을 정의하자. 그렇다면, 흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.^[2]:175

• 영벡터 에너지 조건(零vector energy條件, 영어: null energy condition, 약자 NEC)에 따르면, 모든 미래 방향 영벡터장 ${\displaystyle u^{\mu }}$는 다음 조건을 만족시킨다.

  ${\displaystyle u^{\mu }u^{\nu }T_{\mu \nu }\geq 0}$

즉, 빛의 속력으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.

• 약한 에너지 조건(弱-energy條件, 영어: weak energy condition, 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 ${\displaystyle v^{\mu }}$는 다음 조건을 만족시킨다.

  ${\displaystyle v^{\mu }v^{\nu }T_{\mu \nu }\geq 0}$

즉, 빛의 속력보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.

• 영벡터 우세 에너지 조건(零vector優勢energy條件, 영어: null dominant energy condition, 약자 NDEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 영벡터장 ${\displaystyle u^{\mu }}$에 대하여, ${\displaystyle -T^{\mu \nu }u_{\mu }}$는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 두 번째 조건에 따르면, 빛의 속도로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 이 조건은 우세 에너지 조건과 유사하나, 음의 우주 상수를 허용한다.^[2]:175
• 우세 에너지 조건(優勢energy條件, 영어: dominant energy condition, 약자 DEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장 ${\displaystyle v^{\mu }}$에 대하여, ${\displaystyle -T^{\mu \nu }v_{\mu }}$는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 조건 ②에 따르면, 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 조건 ②에 따르면, 등방 물질의 경우 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 한다. 이는 물질에서 음속이 빛의 속력보다 더 작아야 하는 조건이다.^[1]:91
• 강한 에너지 조건(強-energy條件, 영어: strong energy condition, 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 ${\displaystyle v^{\mu }}$는 다음 조건을 만족시킨다.

  ${\displaystyle v^{\mu }v^{\nu }(T_{\mu \nu }-Tg_{\mu \nu }/2)\geq 0}$

즉, 강한 에너지 조건을 제외한 에너지 조건들은 다음과 같다.

	영벡터 에너지 조건	약한 에너지 조건	영벡터 우세 에너지 조건	우세 에너지 조건
영벡터 ${\displaystyle u^{\mu }}$에 대하여, ${\displaystyle u^{\mu }u^{\nu }T_{\mu \nu }\geq 0}$	O	O	O	O
시간꼴 벡터 ${\displaystyle v^{\mu }}$에 대하여, ${\displaystyle v^{\mu }v^{\nu }T_{\mu \nu }\geq 0}$	X	O	O	O
미래 영벡터 ${\displaystyle u^{\mu }}$에 대하여, ${\displaystyle -u^{\mu }T_{\mu \nu }}$는 미래 시간꼴 또는 영벡터	X	X	O	O
미래 시간꼴 벡터 ${\displaystyle v^{\mu }}$에 대하여, ${\displaystyle -v^{\mu }T_{\mu \nu }}$는 미래 시간꼴 또는 영벡터	X	X	X	O

평균 에너지 조건

위 에너지 조건들은 각 점마다 성립 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 조건들을 약화시켜, 주어진 세계선의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있다. 이들을 평균 에너지 조건(平均energy條件, 영어: averaged energy conditions)이라고 한다.^[4]:§2.2 (평균이 아닌 에너지 조건들은 양자 역학 효과에 의하여 미세하게 위배될 수 있지만, 평균 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 성립할 가능성이 더 높다고 여겨진다.)

시공간 ${\displaystyle (M,g)}$에서, 매끄러운 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$ 가운데, 임의의 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 대하여 속력 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in \mathrm {T} _{x}M}$이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{fut,time}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)}$로 표기하자. 마찬가지로, 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{fut,null}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)}$로 표기하자.

• 평균 영벡터 에너지 조건(平均零vector energy條件, 영어: averaged null energy condition, 약자 ANEC)에 따르면, 모든 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {C}}_{\text{fut,null}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)}$는 다음 조건을 만족시킨다.

  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\dot {\gamma }}^{\mu }(t){\dot {\gamma }}^{\nu }(t)T_{\mu \nu }(\gamma (t))\;\mathrm {d} t\geq 0}$

• 평균 약한 에너지 조건(平均弱-energy條件, 영어: averaged weak energy condition, 약자 AWEC)에 따르면, 모든 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {C}}_{\text{fut,time}}^{\infty }(\mathbb {R} ,M)}$는 다음 조건을 만족시킨다.

  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\dot {\gamma }}^{\mu }(t){\dot {\gamma }}^{\nu }(t)T_{\mu \nu }(\gamma (t))\;\mathrm {d} t\geq 0}$

성질

인과 관계

이들 사이의 인과 관계는 다음과 같다. 여기서 X ⇒ Y는 X가 Y를 함의함을 뜻한다.

DEC	⇒	NDEC	⇒	WEC	⇒	NEC
						⇑
						SEC

이름과 달리, 강한 에너지 조건(SEC)은 약한 에너지 조건(WEC)을 함의하지 않는다.

이상 유체

에너지 밀도 ${\displaystyle \rho }$, 압력 ${\displaystyle p}$를 가진 이상 유체

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{pmatrix}}}$

의 경우 위 조건들은 다음과 같다.^[2]:176

• 영벡터 에너지 조건: ${\displaystyle \rho +p\geq 0}$
• 약한 에너지 조건: ${\displaystyle \rho \geq 0}$, ${\displaystyle \rho +p\geq 0}$
• 영벡터 우세 에너지 조건: ${\displaystyle \rho \geq |p|}$ 또는 ${\displaystyle \rho =-p}$
• 우세 에너지 조건: ${\displaystyle \rho \geq |p|}$
• 강한 에너지 조건: ${\displaystyle \rho +p\geq 0}$, ${\displaystyle \rho +3p\geq 0}$

함의 관계

일반 상대성 이론에서, 시공간의 다양한 성질들을 증명하기 위해서는 대개 일종의 에너지 조건이 필요하다. 각종 주요 정리들을 증명하기 위해 필요한 에너지 조건들은 다음과 같다.^[4]:§3.1

• 영벡터 에너지 조건:
  • 블랙홀 열역학의 제2 법칙
  • ADM 질량은 음수가 될 수 없음
• 약한 에너지 조건:
  • 블랙홀 열역학의 제3 법칙 (블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음)
  • 공간의 위상은 변할 수 없음
• 우세 에너지 조건:
  • 블랙홀의 위상은 항상 구

위배

질량을 갖는 스칼라장(클레인-고르돈 방정식)은 (고전적으로) 강한 에너지 조건을 위배할 수 있다.^[4]:§3.2

양자 역학적 효과는 심지어 영벡터 에너지 조건도 위배할 수 있다고 생각된다.^[3] 그러나 각종 평균화 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 비교적 안전하다고 여겨진다.

같이 보기

• 일반 상대성 이론의 엄밀 해