심슨 직선

기하학에서 심슨 직선(영어: Simson line)은 삼각형의 외접원 위의 점을 지나는 각 변의 수선의 발을 지나는 직선이다.

심슨 직선

정의

삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 같은 평면 위의 점 ${\displaystyle P}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle P}$를 지나는 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 수선의 발을 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:41, §2.5, Theorem 2.51}

• ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 한 직선 위의 점이다.
• ${\displaystyle P}$는 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이다.

만약 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이라면, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$를 지나는 직선을 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle P}$의 심슨 직선이라고 한다. 만약 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이 아니라면, 삼각형 ${\displaystyle DEF}$를 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle P}$의 수족 삼각형이라고 한다.

증명:

점 ${\displaystyle P}$가 외접원 위의 점이라고 가정하자. 꼭짓점 ${\displaystyle A}$를 지나는 외접원의 지름을 ${\displaystyle AA'}$이라고 하자. 편의상 ${\displaystyle P}$가 호 ${\displaystyle BA'}$ 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$는 선분 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ 위의 점이며 ${\displaystyle F}$는 선분 ${\displaystyle AB}$의 연장선 위의 점이다. 또한 ${\displaystyle PD}$, ${\displaystyle PE}$, ${\displaystyle PF}$가 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle AB}$의 수선이므로 사각형 ${\displaystyle AEPF}$, ${\displaystyle BDPF}$, ${\displaystyle CEDP}$는 내접 사각형이며, ${\displaystyle P}$가 외접원 위의 점이므로 사각형 ${\displaystyle ABPE}$ 역시 내접 사각형이다. 따라서

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle BDF&=\angle BPF\\&=\angle EPF-\angle BPE\\&=180^{\circ }-\angle A-\angle BPE\\&=\angle BPC-\angle BPE\\&=\angle CPE\\&=\angle CDE\end{aligned}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 한 직선 위의 점이다.

반대로 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 한 직선 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 ${\displaystyle P}$는 삼각형의 한 꼭짓점에서의 내각의 내부에 속하며, 대변에 대하여 그 꼭짓점의 반대쪽에 있다. 편의상 ${\displaystyle P}$가 내각 ${\displaystyle \angle A}$의 내부에 속하며 대변 ${\displaystyle BC}$에 대하여 ${\displaystyle A}$의 반대쪽에 있다고 하자. 그렇다면 사각형 ${\displaystyle CEDP}$, ${\displaystyle BDPF}$는 내접 사각형이므로

${\displaystyle \angle CPE=\angle CDE=\angle BDF=\angle BPF}$

이다. 사각형 ${\displaystyle AEPF}$ 역시 내접 사각형이므로

${\displaystyle \angle BPC=\angle BPE+\angle CPE=\angle BPE+\angle BPF=\angle EPF=180^{\circ }-A}$

가 성립한다. 따라서 사각형 ${\displaystyle ABPC}$ 역시 내접 사각형이며, ${\displaystyle P}$는 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원 위의 점이다.

성질

삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 외접원 위의 두 점 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 ${\displaystyle PQ}$의 중심각의 크기의 1/2과 같다.^{[1]:44, §2.7, Theorem 2.71}

증명:

점 ${\displaystyle P}$를 지나는 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle AB}$의 수선의 발을 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하고, 직선 ${\displaystyle PD}$와 외접원의 다른 한 교점을 ${\displaystyle P'}$이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle AP'}$와 심슨 직선이 평행하는 것을 보이는 것으로 충분하다. 점 ${\displaystyle B}$를 지나는 외접원의 지름을 ${\displaystyle BB'}$이라고 하고, 편의상 ${\displaystyle P}$가 호 ${\displaystyle AB'}$ 위의 점이라고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 ${\displaystyle APCP'}$, ${\displaystyle PCDE}$는 내접 사각형이므로

${\displaystyle \angle PP'A=\angle PCE=\angle PDE}$

이다. 따라서 ${\displaystyle AP'}$와 심슨 직선 ${\displaystyle DE}$는 평행한다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 외접원 위의 두 대척점 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$의 심슨 직선은 서로 수직이며, 구점원 위의 점에서 만난다.^{[1]:45, §2.7, Exercise 1}

삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 외접원 위의 점 ${\displaystyle P}$의 심슨 직선은 ${\displaystyle P}$와 수심 ${\displaystyle H}$ 사이의 선분 ${\displaystyle PH}$를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 구점원의 한 교점이다.^{[2]:47, §5.3}

포락선

슈타이너 하이포사이클로이드

주어진 삼각형에 대한 심슨 직선들의 족의 포락선은 델토이드 곡선이며, 이를 슈타이너 하이포사이클로이드(영어: Steiner’s hypocycloid)라고 한다.^{[1]:44, §2.7}

같이 보기

• 수족 삼각형

각주

1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.
2. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

외부 링크

• “Simson straight line”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Simson line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Bogomolny, Alexander. “Simson line”. 《Cut the Knot》 (영어).