수학 에서 스털링 근사 (영어 : Stirling’s approximation ) 또는 스털링 공식 (영어 : Stirling’s formula )은 큰 계승 (수학) 을 구하는 근사법이다.
ln x ! 과 x ln x − x 의 그래프. x 가 커질수록 두 함수의 비가 빠르게 1 로 수렴한다.
매우 큰
n
{\displaystyle n}
n
!
∼
2
π
n
(
n
/
e
)
n
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}}
ln
n
!
∼
n
(
ln
n
−
1
)
+
1
2
ln
(
2
π
n
)
{\displaystyle \ln n!\sim n(\ln n-1)+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)}
이는 구체적으로 다음을 말한다.
lim
n
→
∞
1
n
!
2
π
n
(
n
/
e
)
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n!}}{\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}=1}
구체적으로, 모든 양의 정수
n
{\displaystyle n}
상계 와 하계 가 존재한다.
2
π
n
n
+
1
/
2
exp
(
−
n
)
≤
n
!
≤
e
n
n
+
1
/
2
exp
(
−
n
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}n^{n+1/2}\exp(-n)\leq n!\leq e\ n^{n+1/2}\exp(-n)}
스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 스털링 급수 (영어 : Stirling series )를 정의할 수 있다.
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
12
n
+
1
288
n
2
+
⋯
)
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\cdots \right)}
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. ( OEIS 의 수열 A1163 ) , ( OEIS 의 수열 A1164 )
1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, … 로그로 쓰면 다음과 같다.
ln
(
n
!
)
∼
n
ln
(
n
)
−
n
+
1
2
ln
(
2
π
n
)
+
1
12
n
−
1
360
n
3
+
⋯
⋯
{\displaystyle \ln(n!)\sim n\ln(n)-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+\cdots \cdots }
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. ( OEIS 의 수열 A46968 ) , ( OEIS 의 수열 A46969 )
1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, … 스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 점근 전개 (asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 n 에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 n 에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다.
아브라암 드무아브르 는 《해석학 잡론》(라틴어 : Miscellanea Analytica , 1판 1730년, 2판 1733년)의 2판[1] 정규 분포 를 다루기 위하여 계승 (수학) 을
n
!
∼
B
n
n
+
1
/
2
e
−
n
{\displaystyle n!\sim Bn^{n+1/2}e^{-n}}
과 같은 꼴로 근사하였고, 또 비례 상수
B
{\displaystyle B}
ln
B
≈
1
−
1
/
12
+
1
/
360
−
1
/
1260
+
1
/
1680
{\displaystyle \ln B\approx 1-1/12+1/360-1/1260+1/1680}
로 근사하였다.[2]
B
2
/
2
≈
3.1435
⋯
{\displaystyle B^{2}/2\approx 3.1435\cdots }
이다. 드무아브르의 근사는 《확률론》(영어 : The Doctrine of Chances , 1판 1718년, 2판 1738년, 3판 1756년) 제2판[3] [4]
제임스 스털링 은 상수
B
{\displaystyle B}
B
2
/
2
=
π
{\displaystyle B^{2}/2=\pi }
자크 비네 (프랑스어 : Jacques Binet )가 스털링 근사의 추가항들을 도입하였다.
증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 감마 함수 를 사용하자.
n
{\displaystyle n}
n
!
=
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
x
n
e
−
x
d
x
{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx}
피적분 함수의 형태를 보면, 감마분포 를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우
n
{\displaystyle n}
중심 극한 정리 에 의해 정규 분포 로 근사할 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜 보자. 먼저 피적분 함수의 형태를 조금 바꾸면
x
n
e
−
x
=
e
n
ln
x
−
x
{\displaystyle x^{n}e^{-x}=e^{n\ln x-x}}
가 된다. 이제
y
≡
x
−
n
{\displaystyle y\,\equiv \,x-n}
n
ln
x
−
x
=
n
ln
(
n
+
y
)
−
n
−
y
=
n
ln
[
n
(
1
+
y
n
)
]
−
n
−
y
=
n
ln
n
−
n
+
n
ln
(
1
+
y
n
)
−
y
{\displaystyle {\begin{aligned}n\ln x-x&=n\ln(n+y)-n-y\\&=n\ln \left[n\left(1+{y \over n}\right)\right]-n-y\\&=n\ln n-n+n\ln \left(1+{y \over n}\right)-y\end{aligned}}}
정규분포의 확률 밀도 함수 의 형태를 얻기 위해 로그를 테일러 전개 를 해서 2차항까지만 취하면 (최댓값 근처에서
y
≪
n
{\displaystyle y\ll n}
ln
(
1
+
y
n
)
≈
y
n
−
1
2
(
y
n
)
2
{\displaystyle \ln \left(1+{y \over n}\right)\approx {y \over n}-{1 \over 2}\left({y \over n}\right)^{2}}
이 되고 이를 다시 원래 피적분 함수에 대입하면, 정규 분포의 확률 밀도 함수와 유사한 형태의 함수를 얻는다.
x
n
e
−
x
≈
n
n
e
−
n
e
−
y
2
2
n
{\displaystyle x^{n}e^{-x}\approx n^{n}e^{-n}e^{-y^{2} \over 2n}}
감마 분포를 정규 분포로 근사하였므로,
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
n
!
=
∫
0
∞
x
n
e
−
x
d
x
≈
n
n
e
−
n
∫
−
∞
∞
e
−
y
2
2
n
d
y
=
n
n
e
−
n
2
π
n
{\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx\approx n^{n}e^{-n}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2} \over 2n}dy=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}
스털링 근사는 통계역학 에서 흔히 등장하는 매우 큰 계승 (수학) 을 근사할 때 쓰인다. 거시적인 크기의 계에서의 입자 수는 보통 아보가드로 수 (≈6×10 ^ 23 )에 견줄 만하므로, 스털링 근사가 효과적이다.
de Moivre, Abraham (1733). 《 Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Accessere variæ considerationes de methodis comparationum, combinationum & differentiarum, solutiones difficiliorum aliquot problematum ad sortem spectantium, itemque constructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quæ in motibus corporum cœlestium occurrunt》 (라틴어) 2판. 런던 : J. Tonson and J. Watts. Le Cam, L. (1986). “ The central limit theorem around 1935” . 《 Statistical Science》 (영어) 1 (1): 78–96 [p. 81]. doi :10.1214/ss/1177013818 . ISSN 0883-4237 . The result, obtained using a formula originally proved by de Moivre but now called Sterling's formula, occurs in his ‘Doctrine of Chances’ of 1733. Abramowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions , http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm Archived 2008년 9월 26일 - 웨이백 머신
Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press, 2001
Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3 
![{\displaystyle \int _{1}^{n}\ln xdx=\left[x\ln x-x\right]_{1}^{n}=(n\ln n-n)-(1\cdot 0-1)=n\ln n-n+1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f58fa7aba8547390b46081b7110a14aadce951)
![{\displaystyle {\begin{aligned}n\ln x-x&=n\ln(n+y)-n-y\\&=n\ln \left[n\left(1+{y \over n}\right)\right]-n-y\\&=n\ln n-n+n\ln \left(1+{y \over n}\right)-y\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d79392dd259c4f226506902b4684aba0e8449e5)
