분리합집합

수학에서 분리 합집합(分離合集合, 영어: disjoint union) 또는 서로소 합집합(-素合集合)은 원소들에게 그들이 속하던 집합에 대한 첨수를 추가하도록 변형된 합집합이다. 서로소인 집합들의 경우, 분리 합집합은 원래의 합집합과 동등하다.

정의

두 집합 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$의 분리 합집합 ${\displaystyle A\sqcup B}$은 다음과 같은, 두 곱집합의 합집합이다.

${\displaystyle A\sqcup B=(A\times \{0\})\cup (B\times \{1\})}$

보다 일반적으로, 집합들의 집합 ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$의 원소들의 분리 합집합 ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}}$은 다음과 같은 집합이다.

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}{(A_{i}\times \{i\})}}$

분리합집합의 원소 ${\displaystyle (a,i)}$ 속의 ${\displaystyle i}$는, ${\displaystyle a}$가 어디에 속하던 원소인지 알려준다. 이에 따라, ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$가 서로소 집합족이거나 아니거나, ${\displaystyle \{A_{i}\times \{i\}\}_{i\in I}}$는 서로소 집합족이다.

성질

임의의 ${\displaystyle A_{i}}$는 자연스럽게 ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}}$로 매장된다.

${\displaystyle \iota \colon A_{i}\hookrightarrow \bigsqcup _{i\in I}A_{i}}$

${\displaystyle \iota \colon a\mapsto (a,i)}$

집합들의 분리 합집합의 크기는, 그 집합들의 크기의 합이다. 즉,

${\displaystyle \left|\bigsqcup _{i\in I}A_{i}\right|=\sum _{i\in I}|A_{i}|}$

예

두 집합

${\displaystyle A=\{a,b\}}$

${\displaystyle B=\{b,c,d\}}$

의 분리 합집합은

${\displaystyle A\sqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}}$

이며, 그 크기는 5이다.