부분 수열

수학에서 부분 수열(部分數列, 영어: subsequence) 또는 부분열(部分列)은 주어진 수열의 일부 항을 원래 순서대로 나열하여 얻을 수 있는 수열이다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 두 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ (${\displaystyle x_{n},y_{n}\in X}$)이 주어졌다고 하자. 만약 다음 두 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle n_{\bullet }\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$이 존재한다면, 수열 ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$의 부분 수열이라고 한다.

• ${\displaystyle n_{\bullet }}$는 순증가 함수이다. 즉, 임의의 자연수 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle n_{k}<n_{k+1}}$이다.
• 임의의 자연수 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle y_{k}=x_{n_{k}}}$

성질

순서론적 성질

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 수열들의 집합 ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ 위에서, 부분 순서 관계는 원순서를 이룬다.^{[1]:150, §6.6, Lemma 6.6.4} 즉, 모든 수열은 자기 자신을 부분 수열로 가지며, 부분 수열의 부분 수열은 원래 수열의 부분 수열이다. 만약 ${\displaystyle X}$의 크기가 2 이상일 경우, 부분 순서 관계는 부분 순서가 아니며, 동치 관계도 아니다.^{[1]:152, §6.6, Exercise 6.6.2} 예를 들어, 서로 다른 두 실수 수열

${\displaystyle (0,1,0,1,\dots )}$

${\displaystyle (1,0,1,0,\dots )}$

은 서로의 부분 수열이다.

해석학적 성질

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 수렴한다.
• 모든 부분 수열이 수렴한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$ 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 ${\displaystyle x}$로 수렴한다.
• ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$의 모든 부분 수열 ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$은 ${\displaystyle x}$로 수렴한다.
• ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$의 모든 부분 수열 ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$은 ${\displaystyle x}$로 수렴하는 부분 수열 ${\displaystyle (x_{n_{k_{j}}})_{j\in \mathbb {N} }}$을 갖는다.^{[2]:80, §2.6, Exercise 2.37, (a)}

모든 실수 수열은 단조 부분 수열을 갖는다. 모든 유계 실수 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다 (볼차노-바이어슈트라스 정리).

예

음이 아닌 정수의 열 ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots )}$은 음이 아닌 짝수의 열 ${\displaystyle (0,2,4,\dots )}$을 한 부분 수열로 갖는다.

각주

1. Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.
2. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.

외부 링크

• “Subsequence”. 《PlanetMath》 (영어).