미분법

이 문서는 미분표에 관한 내용이다.

미분의 기본 공식

이 문단에선 라그랑주의 표기법이 사용되었다.

${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$를 미분 가능한 함수라 하면

• (선형성)

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$ (${\displaystyle c}$는 상수)

${\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}$

${\displaystyle \left({f-g}\right)'=f'-g'}$

• (곱의 법칙)

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$

• (연쇄 법칙)

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}$

확장된 미분의 기본 공식

조금 더 넓게 다음까지도 기본 공식으로 취급하기도 한다.

• (역수 법칙)

${\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'=-{\frac {f'}{f^{2}}}}$

• (몫의 법칙)

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}}$  (단, ${\displaystyle g\neq 0}$)

• (역함수 법칙)

${\displaystyle f(g(y))=y}$ 라 하면

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}$

다항 함수의 미분

${\displaystyle {d \over dx}c=0}$

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

${\displaystyle {d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\sqrt {x}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x}\right)=-{1 \over x^{2}}}$

지수함수와 로그 함수의 미분

${\displaystyle {d \over dx}a^{f(x)}={a^{f(x)}f'(x)\ln a},\qquad a>0}$

${\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0}$

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}}$

삼각함수의 미분

${\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x}$

${\displaystyle {d \over dx}\tan x={1 \over \cos ^{2}x}=\sec ^{2}x}$

${\displaystyle {d \over dx}\csc x=-{1 \over \tan x\sin x}=-\cot x\csc x}$

${\displaystyle {d \over dx}\sec x=\tan x\sec x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cot x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-\csc ^{2}x}$

${\displaystyle {d \over dx}\sin ^{-1}x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\cos ^{-1}x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\tan ^{-1}x={1 \over 1+x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\csc ^{-1}x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\sec ^{-1}x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\cot ^{-1}x={-1 \over 1+x^{2}}}$

쌍곡선 함수의 미분

${\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x}$

${\displaystyle {d \over dx}\tanh x={\mbox{sech}}^{2}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{csch}}\,x=-\,{\mbox{coth}}\,x\,{\mbox{csch}}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{sech}}\,x=-\tanh x\,{\mbox{sech}}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{coth}}\,x=-\,{\mbox{csch}}^{2}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\sinh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\cosh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\tanh ^{-1}x={1 \over 1-x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{csch}}^{-1}\,x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{sech}}^{-1}\,x={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{coth}}^{-1}\,x={1 \over 1-x^{2}}}$

같이 보기

• 적분표