모노드로미

수학에서 모노드로미(영어: monodromy)는 피복 공간이 특이점 주변에서 보이는 구조를 나타내는 수학적 대상이다.

정의

${\displaystyle X}$가 연결 국소 연결 공간이라고 하자. ${\displaystyle p\colon {\tilde {X}}\to X}$가 ${\displaystyle X}$의 피복 공간이라고 하자. 또한, ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$가 그 올(fiber)이라고 하자.

폐곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$가 ${\displaystyle x}$에서 시작하고 끝난다고 하자. 즉, ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=x}$이다. 그렇다면 이 폐곡선을 피복 공간으로 올려(lift) ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\to {\tilde {X}}}$를 생각할 수 있다. 이 곡선은 더 이상 일반적으로 폐곡선이 아니다. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$가 ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}\in F}$에서 시작하여 ${\displaystyle {\tilde {x}}_{2}\in F}$에 끝난다고 하자. 이에 따라, 이를 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 군의 작용으로 생각할 수 있다. 이 작용을 모노드로미 작용(monodromy action)이라고 하며, 군 준동형 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Aut} (F)}$의 상을 모노드로미 군(monodromy group)이라고 한다.

예

복소 로그로 의하여 주어지는 복소 평면의 피복 공간

모노드로미는 복소해석학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 복소 로그 ${\displaystyle \log(z)}$를 원점을 한 번 도는 폐곡선을 따라 해석적 연속을 통하여 연장하면, 시작한 점에서 ${\displaystyle 2\pi i}$만큼 다른 값을 얻는다. 복소 로그를 ${\displaystyle p\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ 꼴의 피복 공간으로 생각하면, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$에 대응하는 올은 ${\displaystyle F=\{\log(x)+2\pi ni|n\in \mathbb {Z} \}}$이다. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$의 기본군은 그 감음수로 나타내어지는 ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} \setminus \{0\})=\mathbb {Z} }$이므로, 그 모노드로미 작용은 ${\displaystyle n\colon \log(x)\mapsto \log(x)+2\pi ni}$임을 알 수 있고, 그 모노드로미 군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이다.

리만 기하학의 홀로노미도 모노드로미의 일종으로 생각할 수 있다.

같이 보기

• 초기하함수

외부 링크

• “Monodromy group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Monodromy theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Monodromy transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Monodromy group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Monodromy theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• 이철희. “맴돌이군과 미분방정식”. 《수학노트》.
• 이철희. “맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈바르츠 목록”. 《수학노트》.