립시츠 연속 함수

해석학에서 립시츠 연속 함수(영어: Lipschitz-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 비 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 이름은 독일의 수학자인 루돌프 립시츠의 이름을 땄다.

정의

두 거리 공간 ${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 음이 아닌 실수 ${\displaystyle K\geq 0}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle K}$-립시츠 연속 함수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x,x'\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq Kd_{X}(x,x')}$

두 거리 공간 ${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 적어도 하나의 음이 아닌 실수 ${\displaystyle K\geq 0}$에 대하여 ${\displaystyle K}$-립시츠 함수라면, ${\displaystyle f}$를 립시츠 연속 함수라고 한다.

성질

립시츠 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$는 다음 조건들을 만족시킨다.

• 절대 연속 함수이다.
• 거의 어디서나 미분 가능 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle K}$-립시츠 함수라면, 거의 어디서나 ${\displaystyle |f'|\leq K}$이다.

미분 가능 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 립시츠 연속 함수이다.
• ${\displaystyle \sup\{|f'(x)|\colon x\in \mathbb {R} \}<\infty }$이다.

예

함수 ${\displaystyle {\sqrt {}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$은 균등 연속 함수이지만 립시츠 연속 함수가 아니다.

참고 문헌

• Boris Hasselblatt, Anatole Katok (2003). A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments, 1 edition, Cambridge University Press

같이 보기

• 횔더 연속 함수