리 대수 근기

리 군론에서 리 대수 근기(Lie代數根基, 영어: Lie algebra radical)는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$를 생각하자. 그렇다면, 그 아이디얼(영어: ideal)은 부분 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}}$

만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 아이디얼 가운데, 가해 리 대수를 이루는 것들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근기라고 하며,^{[1]:32, §I.2}

${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathcal {g}})}$

로 표기한다.

성질

존재

정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다.

만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 ${\displaystyle K}$-뇌터 가군일 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근기가 존재한다.

증명:

다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다.

• ㈎ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
• ㈏ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 임의의 부분 가군들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \sum {\mathcal {I}}=\sum {\mathcal {I}}'}$가 되는 유한 집합 ${\displaystyle {\mathcal {I}}'\subseteq {\mathcal {I}}}$가 존재한다.

㈎의 증명: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.

${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$는 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 아이디얼이다.

또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다. 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\to {\frac {{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}{\mathfrak {a}}}\cong {\frac {\mathfrak {b}}{{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}}}\to 0}$

에 의하여, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$는 가해 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$의 몫 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}$의, 가해 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.

㈏의 증명: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 ${\displaystyle K}$-부분 가군들의 족

${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Pow} ({\mathfrak {g}})}$

이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합

${\displaystyle {\mathcal {I}}'\subseteq {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle |{\mathcal {I}}'|<\aleph _{0}}$

에 대하여

${\displaystyle \sum {\mathcal {I}}'\subsetneq \sum {\mathcal {I}}}$

라고 가정하자.

그렇다면, 선택 공리를 사용하여, ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$의 원소들의 열 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0},{\mathfrak {a}}_{1},\dotsc }$을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.

임의의 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$에 대하여, 귀류법 가정에 따라 ${\displaystyle \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a}}_{j}\subsetneq \sum {\mathcal {I}}}$이므로, ${\displaystyle \{{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}\colon {\mathfrak {b}}\not \subseteq \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a}}_{j}\}\neq \varnothing }$이다. 선택 공리를 사용하여, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\in \{{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}\colon {\mathfrak {b}}\not \subseteq \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a}}_{j}\}}$를 임의로 고른다.

그렇다면, 구성에 따라

${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {a}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{0}+{\mathfrak {a}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{0}+{\mathfrak {a}}_{1}+{\mathfrak {a}}_{2}\subsetneq \dotsb }$

이다. 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.

특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 근기를 갖는다.^{[1]:32, Proposition 1.12}

관련 개념과의 관계

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근기가 0이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 반단순 리 대수이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 대수에 대하여, 만약

${\displaystyle \operatorname {rad} {\mathfrak {g}}=\operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})}$

라면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$를 가약 리 대수(可約Lie代數, 영어: reductive Lie algebra)라고 한다.

예

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가해 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근기는 (항상 존재하며) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 전체이다.