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양자장론에서 리우빌 장론(Liouville場論, 영어: Liouville field theory)은 비임계 끈 이론의 세계면 이론으로 등장하는 2차원 등각 장론이다.[1][2] 무리 등각 장론의 대표적인 예이며, 1차장들의 스펙트럼이 연속적이다. 모든 상관 함수들이 알려져 있다.
이 이론의 운동 방정식이 조제프 리우빌이 리만 곡면의 균일화 정리를 증명할 때 사용했던 2차 비선형 편미분 방정식과 유사해 이러한 이름이 붙었다.[3]
리우빌 장론은 스칼라장 와 실수 매개 변수 를 가지는 2차원 등각 장론이며, 그 작용은 다음과 같다.
여기서 는 2차원 곡면 의 계량 텐서이며, 는 그 스칼라 곡률이다. 스칼라장 를 리우빌 장(영어: Liouville field)이라고 한다.
리우빌 장의 고전적 운동 방정식은 다음과 같다.
여기서
는 굽은 공간의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 평탄한 공간에서는 이는 다음과 같다.
리우빌 장의 비라소로 대수의 중심 전하(영어: central charge)는 다음과 같다.[1]:(2.11)
보통
로 정의한다.
리우빌 이론의 (규격화 가능) 상태들은 연산자-상태 대응에 따라서 다음과 같은 꼴의 국소 연산자에 대응한다.[1]:13
여기서 이다. 이러한 상태의 등각 차원은
이다. 스펙트럼이 연속적이므로, 이 경우 카디 엔트로피 공식이 적용되지 않는다.[4]:§5.5
또한, 일반적으로
의 형태의 연산자가 존재하지만, 라면 이는 규격화 가능한 상태에 대응하지 않는다.[1] 이 부등식을 자이베르그 한계(영어: Seiberg bound)라고 한다.[5]
2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 DOZZ 공식(영어: DOZZ formula)라고 한다. 이는 하랄트 도른(독일어: Harald Dorn), 한스외르크 오토(독일어: Hans-Jörg Otto)[6], 알렉산드르 자몰롯치코프, 알렉세이 자몰롯치코프(러시아어: Алексей Борисович Замолодчиков)[7] 가 발견하였다.
끈 이론에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 비임계 끈 이론(영어: non-critical string theory)들의 세계면 등각 장론의 하나로 등장한다.[8]
끈 이론에서, 차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은
인 리우빌 이론이다.[1]:(2.12)
리우빌 이론은 또한 (만약 계량 텐서 또한 동역학적 장으로 취급한다면) 2차원 양자 중력의 장난감 모형이 된다. 이 경우, 이 이론을 리우빌 중력(영어: Liouville gravity)이라고 한다.
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