리우빌 수

수론에서 리우빌 수(영어: Liouville number)는 충분히 빠르게 수렴하는 유리수 수열로 근사할 수 있는 초월수이다.

정의

무리성 측도

무리수 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$의 무리성 측도(영어: irrationality measure)는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu (x)=\inf \left\{n\in \mathbb {R} ^{+}\colon \left|\left\{(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\colon \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\right\}\right|<\aleph _{0}\right\}}$

리우빌 수

무리수 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle x}$를 리우빌 수라고 한다.

• ${\displaystyle \mu (x)=\infty }$. 즉, 임의의 양의 실수 ${\displaystyle n\in \mathbb {R} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle |x-p/q|<1/q^{n}}$인 두 정수 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$가 무한히 많이 존재한다.
• 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle |x-p/q|<1/q^{n}}$이며 ${\displaystyle q\geq 2}$인 두 정수 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$가 존재한다.

성질

초월성

임의의 무리수 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$에 대하여, ${\displaystyle \mu (x)\geq 2}$가 성립한다. 만약 ${\displaystyle x}$가 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, ${\displaystyle \mu (x)=2}$이다. 특히, 모든 리우빌 수는 초월수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.

모든 리우빌 수가 초월수임은 리우빌 정리(영어: Liouville’s theorem)를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의 ${\displaystyle n\geq 2}$차 대수적 무리수 ${\displaystyle x}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 ${\displaystyle M\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다.

• 임의의 정수 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ 및 양의 정수 ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle \left|x-p/q\right|>1/(Mq^{n})}$

증명:

정리의 조건에 따라 ${\displaystyle f(x)=0}$인 ${\displaystyle n}$차 유리수 계수 기약 다항식 ${\displaystyle f\in \mathbb {Q} [t]}$이 존재한다.

${\displaystyle M\geq \sup _{y\in [x-1,x+1]}|f'(y)|}$

인 양의 정수 ${\displaystyle M\in \mathbb {Z} ^{+}}$를 취하자. 임의의 정수 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ 및 양의 정수 ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle |x-p/q|>1}$이라면,

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>1\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}}$

이다. 만약 ${\displaystyle |x-p/q|\leq 1}$이라면, 부등호는 ${\displaystyle f}$는 유리근을 갖지 않으므로 ${\displaystyle q^{n}|f(p/q)|}$는 양의 정수이다. 평균값 정리에 따라

${\displaystyle Mq^{n}\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)-f(x)\right|=q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq 1}$

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, 리우빌 수 ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle n\geq 2}$차 대수적 무리수라고 하자.

${\displaystyle 2^{k-n}>M}$

인 양의 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$를 취하자. 리우빌 수의 정의에 따라, 다음을 만족시키는 두 정수 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$가 존재한다.

${\displaystyle {\frac {1}{q^{k}}}>\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{Mq^{n}}}}$

${\displaystyle q\geq 2}$

따라서

${\displaystyle M>q^{k-n}\geq 2^{k-n}>M}$

이며, 이는 모순이다.

집합론적 성질

리우빌 수의 집합의 크기는 실수와 같은 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$이다.

위상수학적 성질

리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합의 여집합이며, (실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$는 베르 공간이므로) 특히 이는 조밀 집합이다.

측도론적 성질

리우빌 수의 집합의 르베그 측도는 0이며, 보다 일반적으로 임의의 차원의 하우스도르프 측도는 0이다.

예

다음은 일부 무리수의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.

${\displaystyle \mu (e)=2}$

${\displaystyle \mu (\pi )\leq 7.103205\cdots }$^[1]

${\displaystyle \mu (\pi ^{2})\leq 5.441243}$

${\displaystyle \mu (\pi /{\sqrt {3}})\leq 4.230464\cdots }$

${\displaystyle \mu (\zeta (2))=\mu (\pi ^{2}/6)\leq 5.09541178\cdots }$

${\displaystyle \mu (\zeta (3))\leq 5.513891}$

${\displaystyle \mu (\ln 2)\leq 3.8913998}$

${\displaystyle \mu (\ln 3)\leq 5.125}$

${\displaystyle \mu (\arctan(1/3))\leq 6.096755\cdots }$

여기서 ${\displaystyle e}$는 자연 로그의 밑, ${\displaystyle \pi }$는 원주율, ${\displaystyle \zeta }$는 리만 제타 함수, ${\displaystyle \arctan }$는 아크탄젠트, ${\displaystyle \ln }$은 자연 로그이다.

리우빌 상수

리우빌 상수(영어: Liouville’s constant)

${\displaystyle c=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}=0.1100010000000000000000010\dots }$ (OEIS의 수열 A012245)

는 리우빌 수이다.^[2][3] 보다 일반적으로, 임의의 2 이상의 정수 ${\displaystyle b\geq 2}$ 및 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots \in \{0,1,\dots ,b-1\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle 0=a_{n}=a_{n+1}=\cdots }$인 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재하지 않는다면,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b^{-n!}}$

은 리우빌 수이다.

증명:

순환 소수가 아니므로 ${\displaystyle c}$는 무리수이다.

임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여,

${\displaystyle q=10^{n!}}$

${\displaystyle p=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}}$

를 취하면

${\displaystyle \left|c-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }10^{-k!}<{\frac {1}{q^{n}}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle c}$는 리우빌 수이다.

역사

조제프 리우빌의 이름을 땄다.

같이 보기

• 디오판토스 근사

각주

1. Zeilberger, Doron; Zudilin, Wadim (2020년 1월 7일). “The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…”. 《Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory》 9 (4): 407–419. arXiv:1912.06345. doi:10.2140/moscow.2020.9.407. S2CID 209370638.
2. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition (공)저: Eric W. Weisstein (P1782L30)
3. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Second Edition the late Richard Courant and Herbert Robbins Revised by Ian Stewart (Liouville number)

참고 문헌

• Oxtoby, John C. (1980). 《Measure and Category. A Survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 2 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2. ISSN 0072-5285. MR 0584443. Zbl 0435.28011.
• Beanland, Kevin; Roberts, James W.; Stevenson, Craig (2009). “Modifications of Thomae's Function and Differentiability”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 116 (6): 531–535. ISSN 0002-9890. JSTOR 40391145.

외부 링크

• 이철희. “리우빌 수”. 《수학노트》.
• “Liouville number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville’s constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Liouville’s theorem (number theory)”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Liouville’s constant is transcendental”. 《ProofWiki》 (영어).