교환 가능 확률 변수족

확률론과 통계학에서 교환 가능 확률 변수족(交換可能確率變數族, 영어: exchangeable family of random variables)은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 시그마 대수(交換可能σ代數, 영어: exchangeable sigma-algebra)는 유한 개의 확률 변수를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건들로 구성된 시그마 대수이다.

정의

교환 가능 시그마 대수

두 집합 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$의 대칭차는 다음과 같다.

${\displaystyle A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

집합 ${\displaystyle A}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {fp} (A)}$가 ${\displaystyle \pi (a)\neq a}$인 ${\displaystyle a\in A}$의 수가 유한한 전단사 함수 ${\displaystyle \pi \colon A\to A}$의 집합이라고 하자.

실수 수열 ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }}$ 및 ${\displaystyle \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )}$에 대하여,

${\displaystyle \pi x=(x_{\pi (i)})_{i\in \mathbb {N} }}$

이라고 하자.

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ 위의, 실수 수열 ${\displaystyle ({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }))}$ 값의 확률 변수

${\displaystyle X\colon \Omega \to {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }}$

의 교환 가능 시그마 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)=\{X^{-1}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }),\;\operatorname {Pr} (X^{-1}(B)\bigtriangleup (\pi X)^{-1}(B))=0\forall \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )\}\subset {\mathcal {F}}}$

교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건(交換可能事件, 영어: exchangeable event) 또는 순열 가능 사건(順列可能事件, 영어: permutable event) 또는 대칭 사건(對稱事件, 영어: symmetric event)이라고 한다.

교환 가능 확률 변수족

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ 위의, 실수 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ 값의 확률 변수들의 가산 집합

${\displaystyle (X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{i\in I}}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$를 교환 가능 확률 변수족이라고 한다.

• 임의의 유한 집합 ${\displaystyle J\subseteq I}$ 및 두 전단사 함수 ${\displaystyle i,j\colon \{1,\dots ,|J|\}\to J}$에 대하여, ${\displaystyle (X_{i(1)},\dots ,X_{i(|J|)})}$와 ${\displaystyle (X_{j(1)},\dots ,X_{j(|J|)})}$의 확률 분포는 같다.
• 임의의 ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ 및 두 단사 함수 ${\displaystyle i,j\colon \{1,\dots ,n\}\to I}$에 대하여, ${\displaystyle (X_{i(1)},\dots ,X_{i(n)})}$와 ${\displaystyle (X_{j(1)},\dots ,X_{j(n)})}$의 확률 분포는 같다.

데 피네티 정리(영어: de Finetti’s theorem)에 따르면, 만약 ${\displaystyle I}$가 가산 무한 집합일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치이다.^{[1]:232, §7.3, Theorem 2}

• ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$는 교환 가능 확률 변수족이다.
• ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$는 어떤 사건 시그마 대수 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
• ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$는 꼬리 시그마 대수 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(X_{i})_{i\in I}}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
• ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X_{i})_{i\in I}}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.

성질

교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙(영어: Hewitt–Savage zero–one law)이라고 한다.

예

실수 값의 확률 변수열의 모든 꼬리 사건은 교환 가능 사건이다.

모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.

역사

데 피네티 정리는 브루노 데 피네티(이탈리아어: Bruno de Finetti)의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt)과 레너드 지미 새비지(영어: Leonard Jimmie Savage)의 이름을 땄다.