니스네비치 위상

대수기하학에서 니스네비치 위상(Нисневич位相, 영어: Nisnevich topology)은 에탈 위상과 비슷하지만, 이와 달리 체의 갈루아 이론 (에탈 기본군)을 관찰하지 않도록 하여 체의 스펙트럼의 코호몰로지가 자명하게 만든 그로텐디크 위상이다.

정의

니스네비치 사상(Нисневич寫像, 영어: Nisnevich morphism)은 다음 조건을 만족시키는 에탈 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다.

• 모든 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)=y}$이자 유도 준동형 ${\displaystyle f^{*}\colon \kappa (y)\to \kappa (x)}$가 체 동형을 이루는 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다.

여기서

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {{\mathcal {O}}_{X,x}}{{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{X,x})}}}$

는 줄기 국소환의 잉여류체이다. 또한, ${\displaystyle x}$나 ${\displaystyle y}$는 닫힌 점이 아닐 수 있다.

같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합

${\displaystyle \{f_{i}\colon X_{i}\to Y\}_{i\in I}}$

이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 니스네비치 덮개(Нисневич-, 영어: Nisnevich cover)라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f_{i}(x)=y}$이자 유도 준동형 ${\displaystyle f_{i}^{*}\colon \kappa (y)\to \kappa (x)}$가 체 동형을 이루는 ${\displaystyle i\in I}$ 및 ${\displaystyle x\in X_{i}}$가 존재한다.

만약 ${\displaystyle I}$가 유한 집합이라면, 이는 ${\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}f_{i}\colon \sqcup _{i\in I}X_{i}\to Y}$가 니스네비치 사상인 것과 동치이다.

니스네비치 덮개들은 스킴의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sch} }$ 위의 그로텐디크 준위상을 이룬다. 니스네비치 위상을 부여한 스킴의 범주를 니스네비치 위치(Нисневич位置, 영어: Nisnevich site)라고 하며, ${\displaystyle \operatorname {Nis} }$라고 표기한다.

작은 니스네비치 위치와 큰 니스네비치 위치

에탈 위상과 마찬가지로, 니스네비치 위치의 경우 작은 위치와 큰 위치를 정의할 수 있다. 스킴 ${\displaystyle X}$에 대하여, 큰 니스네비치 위치(-Нисневич位置, 영어: gros/big Nisnevich site) ${\displaystyle \operatorname {Nis} /X}$는 ${\displaystyle X}$에 대한 조각 범주이다.

스킴 ${\displaystyle X}$에 대하여, 작은 니스네비치 위치(-Нисневич位置, 영어: petit/small Nisnevich site) ${\displaystyle \operatorname {nis} /X}$는 대상을 ${\displaystyle X}$를 공역으로 하는 에탈 사상으로 가지며, 이와 가환되는 스킴 사상을 사상으로 가지는 범주이다. 그 위의 그로텐디크 준위상은 니스네비치 덮개이다.

성질

${\displaystyle \operatorname {Sch} }$ 위의 그로텐디크 위상으로서, 니스네비치 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하지만 에탈 위상보다 더 엉성하다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Sch} }$ 위의 그로텐디크 위상을 섬세한 순서대로 정렬하면 다음과 같다.

비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상

체의 니스네비치 코호몰로지는 모두 자명하다. (반면, 체의 에탈 코호몰로지는 일반적으로 자명하지 않다.)

에탈 위상에서 "줄기"가 순 헨젤 국소환인 것처럼, 니스네비치 위상에서 "줄기"는 헨젤 국소환이다.

스킴의 대수적 K이론은 니스네비치 위상에 대하여 내림을 만족시키지만,^[1] 이는 더 섬세한 에탈 위상에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

역사

예브세이 니스네비치(러시아어: Евсей А. Нисневич)가 대수적 K이론에 사용하기 위하여 도입하였다.^[1] 이후 이는 블라디미르 보예보츠키에 의하여 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ 호모토피 이론^[2] 및 모티브 이론에 응용되었다.

같이 보기

• 헨젤 환

각주

1. Nisnevich, Yevsey A. (1989). 〈The completely decomposed topology on schemes and associated descent spectral sequences in algebraic K-theory〉 (PDF). Jardine, J. F.; Snaith, V. P. 《Algebraic K-theory: connections with geometry and topology. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Lake Louise, Alberta, December 7–11, 1987》. NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences (영어) 279. Kluwer. 241–342쪽. doi:10.1007/978-94-009-2399-7_11. ISBN 978-94-010-7580-0. ISSN 1389-2185.
2. Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999). “A¹-homotopy theory of schemes” (PDF). 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (영어) 90 (90): 45–143. doi:10.1007/BF02698831. ISSN 0073-8301. MR 1813224.

외부 링크

• “Nisnevich site”. 《nLab》 (영어).