델 (연산자)

델 연산자는 벡터 미적분학에서 많이 쓰이는 연산자로써 나블라 기호로 표현하며 함수의 발산이나 회전 등을 나타내는데 사용된다. 어떤 함수 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$를 미분할 때 미분을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉 ${\displaystyle y}$를 ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$라는 연산자를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 그래디언트를 하나의 연산자로 바라본 것이다.

${\displaystyle \nabla }$

나블라 기호를
사용하여 표시하는
델 연산자

수학적 정의

3차원 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$에서 델 연산자는 ${\displaystyle \nabla =\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$로 정의된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 델 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저를 의미한다.

그래디언트

 기울기 (벡터) 문서를 참고하십시오.

델 연산자를 어떤 함수 ${\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$에 적용시키자. 다시 말해서 ${\displaystyle f}$를 어떤 스칼라 함수라 하고, ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}=(A_{x},A_{y},A_{z})}$를 3차원 공간상의 어떤 벡터라 하자. 각각은 x,y,z 에 대한 함수다. 이 때, 4가지 연산의 정의는 이렇게 쓸 수가 있다.

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial f}{\partial z}}}$

이는 그래디언트의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.

발산

 이 부분의 본문은 발산 (벡터)입니다.

어떤 벡터장 ${\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$의 발산 또는 다이버전스는 델 연산자와의 스칼라곱으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \left(F_{1}\mathbf {i} +F_{2}\mathbf {j} +F_{3}\mathbf {k} \right)={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}}$

여기서 ${\displaystyle F_{1},~F_{2},~F_{3}}$는 벡터장 ${\displaystyle \mathbf {F} }$의 성분 스칼라장들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장의 스칼라곱으로 정의된다.

회전

 이 부분의 본문은 회전 (벡터)입니다.

어떤 벡터장 ${\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$의 회전 또는 돌개는 델 연산자와의 벡터곱으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

여기서 ${\displaystyle F_{1},~F_{2},~F_{3}}$는 벡터장 ${\displaystyle \mathbf {F} }$의 성분 스칼라장들이며 회전연산자의 결과 ${\displaystyle \operatorname {curl} F}$ 또는 ${\displaystyle \nabla \times F}$는 같은 차원의 벡터장이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 ${\displaystyle \mathbf {k} }$성분이 없는 3차원 벡터로 놓고 계산하는 경우도 있다.

라플라시안

 이 부분의 본문은 라플라스 연산자입니다.

라플라시안 또는 라플라스 연산자 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$은 그래디언트의 발산으로 정의된다.

${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot \left(\nabla f\right)=\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \left(\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial f}{\partial z}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 그래디언트의 n차원 발산으로 정의된다.

관련된 여러 성질들

${\displaystyle c}$는 상수이고 함수 ${\displaystyle f,~g,~\mathbf {F} ,~\mathbf {G} }$는 다음과 같이 정의된다. ${\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,~g:B\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,~\mathbf {F} :C\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3},~\mathbf {G} :D\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

1. ${\displaystyle \nabla \left(f+g\right)=\nabla f+\nabla g}$
2. ${\displaystyle \nabla \left(cf\right)=c\nabla f}$
3. ${\displaystyle \nabla \left(fg\right)=f\nabla g+g\nabla f}$
4. ${\displaystyle g\left(\mathbf {x} \right)\neq 0}$인 ${\displaystyle \mathbf {x} }$에 대해서 ${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}}$
5. ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {F} +\mathbf {G} \right)=\nabla \cdot \mathbf {F} +\nabla \cdot \mathbf {G} }$
6. ${\displaystyle \nabla \cdot \left(c\mathbf {F} \right)=c\nabla \cdot \mathbf {F} }$
7. ${\displaystyle \nabla \cdot \left(f\mathbf {F} \right)=f\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla f}$
8. ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla f\times \nabla g\right)=0}$
9. ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {F} +\mathbf {G} \right)=\nabla \times \mathbf {F} +\nabla \times \mathbf {G} }$
10. ${\displaystyle \nabla \times \left(c\mathbf {F} \right)=c\nabla \times \mathbf {F} }$
11. ${\displaystyle \nabla \times \left(f\mathbf {F} \right)=f\nabla \times \mathbf {F} +\nabla f\times \mathbf {F} }$
12. ${\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} }$
13. ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} =0}$
14. ${\displaystyle \nabla ^{2}\left(fg\right)=f\nabla ^{2}g+2\left(\nabla f\cdot \nabla g\right)+g\nabla ^{2}f}$
15. ${\displaystyle \nabla \cdot \left(f\nabla g-g\nabla f\right)=f\nabla ^{2}g-g\nabla ^{2}f}$

1번과 2번 성질에 의하여 그래디언트가, 5번과 6번 성질에 의하여 발산이, 9번과 10번 성질에 의하여 회전이 선형변환임을 알 수 있다.

역사

델 연산자는 윌리엄 로언 해밀턴이 사원수를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는 ${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} }$로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장 ${\displaystyle f}$와 곱하면 ${\displaystyle f}$의 그래디언트를 얻을 수 있고 3차원 벡터장과 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산의 음수, 벡터성분은 회전이다.(${\displaystyle \nabla \mathbf {V} =-\nabla \cdot \mathbf {V} +\nabla \times \mathbf {V} }$, 여기서 ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$는 그래디언트가 아니라 단순히 델과 V의 곱이다.) 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.

델 연산자와 발산, 회전의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 제임스 클러크 맥스웰이다. 맥스웰은 그의 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서는 발산과 회전을 각각 그 당시 많이 사용되던 단어인 컨버전스(convergence)와 로테이션(rotation)이라 이름 붙이고 전기장과 자기장 사이의 상호작용을 설명하였다. 그는 발산의 물리적 의미를 가우스의 발산정리를 이용하여 설명하였으나 회전의 경우 깊은 물리적 의미를 찾지는 못하였다.

지금의 이름인 ‘발산(영어: divergence)’과 ‘회전(영어: curl)’을 붙인 것은 조사이어 윌러드 기브스이다. 그는 맥스웰보다 발산과 회전의 훨씬 더 근본적인 물리적 의미를 찾아냈다. 그가 찾아낸 발산의 의미는 공간에서 유체의 속도벡터와 공간 상의 어느 한 점에서 유체가 빠져나가는 속도를 잇는 연산자였고, 회전의 의미는 어떤 강체 각 지점의 속도 벡터와 강체의 각속도를 연결짓는 연산자였다.

같이 보기

• 맥스웰 방정식
• 나비에-스토크스 방정식

참고 문헌

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.

외부 링크

• (영어) A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen