완전열

호몰로지 대수학에서 완전열(完全列, 영어: exact sequence)은 한 사상의 상이 다음 사상의 핵과 일치하는, 사상들과 대상들로 구성된 열이다.

정의

핵과 여핵을 가지는 범주에서 완전열은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

${\displaystyle \cdots \to A_{i-1}{\xrightarrow {f_{i-1}}}A_{i}{\xrightarrow {f_{i}}}A_{i+1}{\xrightarrow {f_{i+1}}}A_{i+2}\to \cdots }$

이 열이 완전열을 이루려면, 인접한 사상들 각각에 대해 뒷쪽 사상의 핵과 앞쪽 사상의 상이 일치하여야 한다.

${\displaystyle \operatorname {im} f_{i-1}=\ker f_{i}}$

즉,

${\displaystyle \operatorname {coker} f_{i-1}=A_{i}/\ker f_{i}}$

이어야 한다.

모든 아벨 범주 (아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

특수한 경우

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.

• 열 ${\displaystyle 0\to A\to B}$가 완전열이라는 것은 사상 ${\displaystyle A\to B}$가 단사 사상이라는 것과 동치이다.
• 열 ${\displaystyle B\to C\to 0}$가 완전열이라는 것은 사상 ${\displaystyle B\to C}$가 전사 사상이라는 것과 동치이다.
• 열 ${\displaystyle 0\to A\to B\to 0}$가 완전열이라는 것은 사상 ${\displaystyle A\to B}$가 동형 사상이라는 것과 동치이다.

짧은 완전열

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 짧은 완전열(영어: short exact sequence)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

여기서, ${\displaystyle f}$는 단사 사상이며 ${\displaystyle g}$는 전사 사상이다. 이 경우, 다음과 같은 동형이 성립한다.

${\displaystyle C\cong B/A}$

예

아벨 군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각하자.

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\xrightarrow {2\cdot }}\mathbb {Z} {\xrightarrow {\mod 2}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to 0}$

여기에서 0은 자명군이고, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에서 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에서 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \simeq \{0,1\}}$은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 인접한 사상을 각각 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.

• 사상 ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} }$의 상은 자명군이고, ${\displaystyle \cdot 2\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에서 열은 완전열이다.
• ${\displaystyle \cdot 2\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$의 상은 짝수의 부분군 ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$이며, ${\displaystyle {\bmod {2}}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$의 핵 또한 짝수의 부분군 ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$이다. 따라서, 두 번째 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에 대해서도 완전열이다.
• ${\displaystyle {\bmod {2}}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$에 대한 상은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$이고, 0으로 가는 상의 핵도 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$이기 때문에, 열은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$에서도 완전열이다.

같이 보기

• 분할 완전열
• 뱀 보조정리
• 지그재그 보조정리

외부 링크

• “Exact sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exact sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Short exact sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Long exact sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.