균등 유계성 원리

함수해석학에서 균등 유계성 원리(均等有界性原理, 영어: uniform boundedness principle) 또는 바나흐-스테인하우스 정리(Banach-Steinhaus定理, 영어: Banach–Steinhaus theorem)는 바나흐 공간 위의 일련의 유계 작용소들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 동치라는 정리이다.

정의

실수 바나흐 공간 ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ 및 실수 노름 공간 ${\displaystyle (W,\|\cdot \|_{W})}$ 사이에 일련의 유계 작용소들 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset B(V,W)}$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 균등 유계성 원리에 따르면 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

• (점별 유계성) 모든 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}<\infty }$
• (균등 유계성) ${\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|T\|_{B(V,W)}<\infty }$

여기서 ${\displaystyle \|\cdot \|_{B(V,W)}}$는 작용소 노름이다.

균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.

• 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$ 및 노름 공간 ${\displaystyle W}$ 사이의 유계 작용소들의 열 ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots \colon V\to W}$이 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$로 점별 수렴한다면, ${\displaystyle T}$는 유계 작용소이다.

증명

바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르 범주 정리를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.

베르 범주 정리를 사용한 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자.

${\displaystyle \forall v\in V\colon \quad \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}<\infty }$

모든 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여

${\displaystyle V_{n}=\{v\in V|\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}\leq n\}}$

를 정의하자. 이는 닫힌집합이다.

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}=V}$

이므로, 베르 범주 정리에 따라서 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 및 ${\displaystyle v_{0}\in V_{n}}$, ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$가 존재한다.

${\displaystyle \{v\in V|\|v-v_{0}\|\leq \epsilon \}\subset V_{n}}$

그렇다면 임의의 ${\displaystyle v\in V}$ (${\displaystyle \|v\|_{V}\leq 1}$) 및 ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$에 대하여

${\displaystyle \epsilon \|Tv\|_{W}=\left\|T(v_{0}+\epsilon v)-Tv_{0}\right\|_{W}\leq \left(\|T(v_{0}+\epsilon v)\|_{W}+\|Tv_{0}\|_{W}\right)\leq 2n}$

이다. 따라서

${\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2n/\epsilon <\infty }$

이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다.

이 밖에도, 앨런 소칼은 베르 범주 정리를 사용하지 않는 다음과 같은 증명을 제시하였다.^[1]

베르 범주 정리를 사용하지 않는 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자.

${\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}=\infty }$

그렇다면,

${\displaystyle \|T_{i}\|\geq 4^{i}}$

인 작용소 열 ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {T}}}$를 고를 수 있다. 이제,

${\displaystyle v_{0}=0}$

${\displaystyle \|v_{i}-v_{i-1}\|\leq 3^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \|T_{i}v_{i}\|\geq {\frac {2}{3}}3^{-i}\|T_{i}\|\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}$

인 벡터 열 ${\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subset V}$를 고르자. 이는 코시 열이므로, ${\displaystyle v\in V}$로 수렴한다. 그렇다면

${\displaystyle \|v-v_{i}\|\leq {\frac {1}{2}}3^{-n}}$

이므로

${\displaystyle \|T_{i}v\|\geq {\frac {1}{6}}3^{-i}\|T_{i}\|\geq {\frac {1}{6}}(4/3)^{i}\to \infty }$

이다. 따라서 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$는 점별 유계가 아니다.

역사

스테판 바나흐와 후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다.^[2] 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.^[3]

각주

1. Sokal, Alan D. (2011). “A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 118: 450–452. arXiv:1005.1585. Bibcode:2010arXiv1005.1585S. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450.
2. Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927). “Sur le principe de la condensation de singularités” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 9: 50–61. JFM 53.0243.02.
3. Hahn, Hans (1922). “Über Folgen linearer Operationen”. 《Monatshefte für Mathematik und Physik》 (독일어) 32: 3–88. doi:10.1007/BF01696876.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform boundedness principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Banach-Steinhaus theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Banach-Steinhaus theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Uniform boundedness”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Banach-Steinhaus theorem”. 《nLab》 (영어).
• “Banach-Steinhaus Theorem”. 《ProofWiki》 (영어).