공간군

수학과 결정학에서 공간군(space group)이란 결정 구조의 대칭성을 수학적으로 기술한 것이다.

정의

3차원에서의 공간군은 (7 결정계에 속한) 14 브라베 격자와 32 결정학적 점군의 조합으로 이루어진다. 따라서 공간군은 lattice centering과 점군의 회전, 반사, 회전반전 대칭 조작을 갖는 단위 격자의 병진대칭(반복)으로 나타난다. 더욱이, 공간군에서는 점군과 달리 병진의 요소가 있기 때문에 점군에 없는 대칭 조작이 나타나는데, 회전 조작과 병진이 결합한 나사축과 반사 조작과 병진이 결합한 미끄럼면이 바로 그것이다. 이 대칭 조작들의 조합으로 결정이 가질 수 있는 230개의 공간군을 모두 표현할 수 있다.

미끄럼면과 나사축

공간군을 구성하는 대칭 조작들 중에 2가지는 브라베 격자나 점군의 대칭 조작과 대응하지 않는다. 이 2가지를 각각 미끄럼면과 나사축이라고 한다.

어떤 한 면에 대해 평행하게 병진하면서 반사 조작이 나타나는 경우 이 면을 미끄럼면이라고 한다. 이 면은 병진이 일어나는 축에 따라 a나 b, 혹은 c로 나타낸다. n과 d미끄럼면도 있는데, n은 대각선 방향으로 단위 격자의 대각선 길이의 1/2만큼 병진하는 미끄럼면을 나타내고, d미끄럼면은 대각선 방향으로 1/4만큼 병진하는 미끄럼면을 나타낸다. d미끄럼면은 '다이아몬드 미끄럼면'이라고도 하는데 그 이유는 다이아몬드의 결정구조에서 볼 수 있기 때문이다.

어떤 한 축을 따라 회전 조작과 병진이 함께 나타날 때 그 축을 나사축이라고 한다. 나사축은 회전의 정도를 나타내는 숫자와 병진을 나타내는 숫자로 표현한다. 앞의 숫자는 몇 번 회전 조작을 하였을 때 1회전이 되는가를 표현한다(즉, 3이라면 3번 회전 조작을 해야 360도 회전하게 된다는 것을 나타낸다.). 병진의 정도는 그 뒤에 작게 표시하는데, 한 번의 회전 조작을 할 때(반시계방향임을 유의) 얼마나 병진하는지 격자벡터에 대한 비율로 표현한다. 예를 들어 2₁은 한 번 회전 조작을 할 때 격자벡터의 1/2만큼 병진하는 2회전 나사축을 말하며, 6₅는 한 번에 격자 벡터의 5/6 만큼 병진하는 6회전 나사축을 나타낸다.

표현

공간군을 식별하는 방법에는 여러가지가 있다. 국제 결정학 연합은 모든 공간군에 각각 다른 번호를 붙인 표를 출판한 바 있다. 이와 다른 도식으로는 헤르만-모갱 표기법과 쇤플리스 표기법이 많이 쓰인다.

헤르만-모긴(혹은 국제) 표기법은 4개의 기호로 구성되어있으며 결정학에서 가장 일반적으로 쓰이는 표기법이다. 첫 번째 기호는 브라베 격자에서의 lattice centering을 나타내며 그 뒤에 있는 3개의 기호는 대칭성이 높은 방향을 따라 투영하였을 때 나타나는 (두드러진)대칭 조작을 표현한다. 뒤 3개의 기호는 점군의 표현과 동일한데, 나사축과 미끄럼면의 표현이 추가된 것이다. 예를 들어 석영의 공간군은 P3₁21로 표현되는데, P는 격자종류(Primitive cell)를 나타내고, 3₁21에서 3회전 나사축과 2회전축을 갖고 있음을 알 수 있다. 여기서 이 공간군이 어느 결정계에 포함되는지 명백하게 나타나지는 않는다는 것을 주의한다. 그러나 뒤 3개의 점군을 나타내는 기호를 보면 쉽게 알 수 있다.(P3₁21의 경우 삼방정계에 포함된다.)

3차원 공간군 목록

결정족	#	삼사정계
1	1	P1
${\displaystyle {\bar {1}}}$	2	P${\displaystyle {\bar {1}}}$
		단사정계
2	3-5	P2	P21	C2
m	6-9	Pm	Pc	Cm	Cc
2/m	10-15	P2/m	P21/m	C2/m	P2/c	P21/c	C2/c
		사방정계
222	16-24	P222	P2221	P21212	P212121	C2221	C222	F222	I222
		I212121
mm2	25-46	Pmm2	Pmc21	Pcc2	Pma2	Pca21	Pnc2	Pmn21	Pba2
		Pna21	Pnn2	Cmm2	Cmc21	Ccc2	Amm2	Abm2	Ama2
		Aba2	Fmm2	Fdd2	Imm2	Iba2	Ima2
mmm	47-74	Pmmm	Pnnn	Pccm	Pban	Pmma	Pnna	Pmna	Pcca
		Pbam	Pccn	Pbcm	Pnnm	Pmmn	Pbcn	Pbca	Pnma
		Cmcm	Cmca	Cmmm	Cccm	Cmma	Ccca	Fmmm	Fddd
		Immm	Ibam	Ibca	Imma
		정방정계
4	75-80	P4	P41	P42	P43	I4	I41
${\displaystyle {\bar {4}}}$	81-82	P${\displaystyle {\bar {4}}}$	I${\displaystyle {\bar {4}}}$
4/m	83-88	P4/m	P42/m	P4/n	P42/n	I4/m	I41/a
422	89-98	P422	P4212	P4122	P41212	P4222	P42212	P4322	P43212
		I422	I4122
4mm	99-110	P4mm	P4bm	P42cm	P42nm	P4cc	P4nc	P42mc	P42bc
		I4mm	I4cm	I41md	I41cd
${\displaystyle {\bar {4}}}$2m	111-122	P${\displaystyle {\bar {4}}}$2m	P${\displaystyle {\bar {4}}}$2c	P${\displaystyle {\bar {4}}}$21m	P${\displaystyle {\bar {4}}}$21c	P${\displaystyle {\bar {4}}}$m2	P${\displaystyle {\bar {4}}}$c2	P${\displaystyle {\bar {4}}}$b2	P${\displaystyle {\bar {4}}}$n2
		I${\displaystyle {\bar {4}}}$m2	I${\displaystyle {\bar {4}}}$c2	I${\displaystyle {\bar {4}}}$2m	I${\displaystyle {\bar {4}}}$2d
4/mmm	123-142	P4/mmm	P4/mmc	P4/nbm	P4/nnc	P4/mbm	P4/nnc	P4/nmm	P4/ncc
		P42/mmc	P42/mcm	P42/nbc	P42/nnm	P42/mbc	P42/mnm	P42/nmc	P42/ncm
		I4/mmm	I4/mcm	I41/amd	I41/acd
		삼방정계
3	143-146	P3	P31	P32	R3
${\displaystyle {\bar {3}}}$	147-148	P${\displaystyle {\bar {3}}}$	R${\displaystyle {\bar {3}}}$
32	149-155	P312	P321	P3112	P3121	P3212	P3221	R32
3m	156-161	P3m1	P31m	P3c1	P31c	R3m	R3c
${\displaystyle {\bar {3}}}$m	162-167	P${\displaystyle {\bar {3}}}$1m	P${\displaystyle {\bar {3}}}$1c	P${\displaystyle {\bar {3}}}$m1	P${\displaystyle {\bar {3}}}$c1	R${\displaystyle {\bar {3}}}$m	R${\displaystyle {\bar {3}}}$c
		육방정계
6	168-173	P6	P61	P65	P62	P64	P63
${\displaystyle {\bar {6}}}$	174	P${\displaystyle {\bar {6}}}$
6/m	175-176	P6/m	P63/m
622	177-182	P622	P6122	P6522	P6222	P6422	P6322
6mm	183-186	P6mm	P6cc	P62cm	P63mc
${\displaystyle {\bar {6}}}$m2	187-190	P${\displaystyle {\bar {6}}}$m2	P${\displaystyle {\bar {6}}}$c2	P${\displaystyle {\bar {6}}}$2m	P${\displaystyle {\bar {6}}}$2c
6/mmm	191-194	P6/mmm	P6/mcc	P63/mcm	P63/mmc
		입방정계
23	195-199	P23	F23	I23	P213	I213
m${\displaystyle {\bar {3}}}$	200-206	Pm${\displaystyle {\bar {3}}}$	Pn${\displaystyle {\bar {3}}}$	Fm${\displaystyle {\bar {3}}}$	Fd${\displaystyle {\bar {3}}}$	I${\displaystyle {\bar {3}}}$	Pa${\displaystyle {\bar {3}}}$	Ia${\displaystyle {\bar {3}}}$
432	207-214	P432	P4232	F432	F4132	I432	P4332	P4132	I4132
${\displaystyle {\bar {4}}}$3m	215-220	P${\displaystyle {\bar {4}}}$3m	F${\displaystyle {\bar {4}}}$3m	I${\displaystyle {\bar {4}}}$3m	P${\displaystyle {\bar {4}}}$3n	F${\displaystyle {\bar {4}}}$3c	I${\displaystyle {\bar {4}}}$3d
m${\displaystyle {\bar {3}}}$m	221-230	Pm${\displaystyle {\bar {3}}}$m	Pn${\displaystyle {\bar {3}}}$n	Pm${\displaystyle {\bar {3}}}$n	Pn${\displaystyle {\bar {3}}}$m	Fm${\displaystyle {\bar {3}}}$m	Fm${\displaystyle {\bar {3}}}$c	Fd${\displaystyle {\bar {3}}}$m	Fd${\displaystyle {\bar {3}}}$c
		Im${\displaystyle {\bar {3}}}$m	Ia${\displaystyle {\bar {3}}}$d

참고 문헌

• Wondratschek, Hans (2006). 〈8.1 Basic concepts〉. 《International Tables for Crystallography A》. 720–725쪽. doi:10.1107/97809553602060000514. ISBN 978-0-7923-6590-7.

같이 보기

• 점군
• 결정학적 점군
• 평면군
• 브라베 격자
• 결정계

외부 링크

• 위키미디어 공용에 공간군 관련 미디어 분류가 있습니다.
• 공간군의 목록