거의 어디서나

측도론에서 거의 어디서나(영어: almost everywhere, 약자 a.e.) 어떤 명제가 성립한다는 것은, 어떤 영집합을 제외한 모든 점에서 명제가 성립한다는 것이다.

정의

어떤 측도 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$의 각 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 명제 ${\displaystyle P(x)}$가 참이거나 거짓이라고 하자. 만약,

${\displaystyle \{x\in X|\lnot P(x)\}}$

이 영집합이라면, ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle X}$의 거의 어디서나 성립한다고 한다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 가측 집합 ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$가 존재한다.

• ${\displaystyle N\supset \{x\in X|\lnot P(x)\}}$
• ${\displaystyle \mu (N)=0}$

만약 ${\displaystyle X}$가 확률 공간일 경우, "거의 어디서나" 대신 "거의 확실하게"(영어: almost surely, 약자 a.s.)를 쓴다.

같이 보기

• 디리클레 함수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Almost everywhere”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.