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판아우벌 정리는 네덜란드 수학자 헨리퀴스 휘베르튀스 판아우벌(Henricus Hubertus van Aubel)의 이름이 붙은 정리이다.
삼각형 ABC (△ABC)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을 , , 이라고 할 때 (, , )
다음과 같은 식이 성립하는데,
이를 판아우벌 정리라고 한다.
는 삼각형 의 면적을 뜻한다.
삼각형 와 삼각형 는 동일한 선분 를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서
이것은
또 삼각형 과 삼각형 을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서
위와 동일한 방법으로
따라서
위 식을 정리하면,
이와 같은 방법으로 동일하게 구하면
(i)식과 (ii)식을 각각 더하면
판아우벌 정리를 증명할 수 있다.
판아우벌 정리는 메넬라오스 정리와 체바 정리를 이용하여 증명할 수 있다.
삼각형 과 직선 에 대해서 메넬라오스 정리가 성립한다.
이 식을 변형하면,
따라서,
삼각형 에서 체바 정리가 성립한다.
따라서,
(ii)식을 (i)식에 대입하면
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