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코시 열
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코시 열(Cauchy列, 영어: Cauchy sequence)은 해석학에서 점 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 프랑스의 수학자인 오귀스탱 루이 코시에서 이름을 따서 명명되었다.[1] 보다 정확히 말하면 작은 양수의 거리가 주어진 경우에 수열의 유한한 수의 원소를 제외한 모든 원소가 서로 주어진 거리보다 작다.
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(b) 코시 열이 아닌 수열. 수열이 진행됨에 따라 수열의 원소가 서로 임의로 근접하지 못한다.
각 항이 "이전" 항에 임의로 근접하는 것은 충분하지 않다. 예를 들어 자연수의 제곱근 수열은 다음과 같다.
연속 항은 다음과 같이 임의로 서로 가까워진다.
그러나 지수 n의 값이 증가함에 따라 an 항은 임의로 커지게 된다. 따라서 모든 지수 n과 거리 d에 대해 am – an > d과 같이 충분히 큰 지수 m이 존재한다. 실제로 m > (√n + d)2이면 충분하다. 결과적으로, 얼마나 멀리 가더라도 수열의 나머지 항은 서로 가까워지지 않으므로 수열은 코시 열이 아니다.
코시 열의 효용성은 완비 거리 공간(모든 그러한 수열이 극한으로 수렴한다고 알려진 곳)[2]에서 수열의 수렴 기준이 극한을 사용하는 정의와는 다르게 수열의 항 자체에만 의존하는 점에 있다. 이는 이론 및 응용 알고리즘에서 종종 이용되는데 반복적 프로세스는 반복법으로 구성된 코시 열을 생성하기 위해 상대적으로 쉽게 보여질 수 있으며 따라서 종료와 같은 논리적 조건을 충족시킨다.