케이시 정리

케이시 정리(Casey's theorem, -定理)는 기하학의 정리로, 아일랜드 수학자 존 케이시(John Casey)의 이름이 붙어 있다. 프톨레마이오스 정리를 일반화한 정리이다.

${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0}$

공식화

${\displaystyle \,O}$ 을 원이라 하자. 또 ${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ 을 ${\displaystyle \,O}$ 의 한 점에 접하는^[1] 네 개의 겹치지 않는 원^[2]이라 하자. 이제 ${\displaystyle \,t_{ij}}$ 을 두 원 ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ 의 공통 접선의 길이라 하면^[3] 다음 식이 성립하는데, 이것이 바로 케이시의 정리이다.^[4]

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

이상의 정리에서 안쪽 네 개 원의 반지름이 모두 0이라면 곧바로 이는 프톨레마이오스 정리가 된다. 이 정리의 역도 성립한다. 즉 이상의 식이 성립하면 각 원 ${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ 은 큰 원과 한 점에서 접한다.^[5]

응용

이 정리는 포이어바흐의 정리를 증명하는 데 이용되는 등^[4] 유클리드 기하학의 다방면에 응용될 수 있다.

같이 보기

• 프톨레마이오스 정리
• 구점원

각주

1. 안쪽이든 바깥쪽이든 상관없다.
2. 반지름은 0일 수 있다.
3. 두 원 모두 안쪽 혹은 바깥쪽에서 접할 경우 바깥쪽 공통 접선이고, 한 원은 안쪽, 한 원은 바깥쪽에서 접할 경우 안쪽 공통 접선이 된다.
4. Casey, J. (1866), Math. Proc. R. Ir. Acad. 9: 396.
5. Johnson, Roger A. (1929), Modern Geometry, Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).

외부 링크

• 케이시의 정리 - 매스월드