초기값 문제

수학분야에서의 미분 방정식의 분야에서, 초기값 문제(Initial Value Problem,IVP)는 미분 방정식과 초기 상태라는 주어진 한 점에서 알 수 없는 함수의 값이 주어진 문제이다. 물리학이나 다른 과학, 모델링 시스템에서 자주 양을 해결하는 초기 값 문제이다. 이러한 맥락에서, 미분 방정식은 어떻게 변화하는지를 지정한 방정식이며, 초기 조건이 주어졌을 때, 계가 시간에 따라 변화하게 만든다.

정의

초기 값 문제는 다음의 미분 방정식

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ 이고 함수 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle f\colon \Omega \subset {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }^{n}}$에서 정의되어 있고, ${\displaystyle \Omega }$는 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$의 열린 집합이다과 초기 상태라는 ${\displaystyle f}$의 한 점에서의 값이 있는 문제이다.

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega }$ 초기 값 문제의 솔루션은 다음을 만족하는 미분방정식의 솔루션인 함수 ${\displaystyle y}$이다.

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$.

높은 차원에서, 미분 방정식은 ${\displaystyle y'_{i}(y)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dots )}$으로 대체되고, ${\displaystyle y(t)}$ 는 벡터 ${\displaystyle (y_{1}(t),\dots ,y_{n}(t))}$로 나타났다. 더 일반적으로, 모르는 함수 ${\displaystyle y}$는 바나흐 공간이나 공간의 분포와 같은 무한 차원의 공간에서 값을 가질 수 있다.

초기 값 문제는 독립적인 함수와 같은 방법으로 유도되게 처리함으로 인해 높은 차원으로 확장될 수 있다,예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

솔루션의 존재여부와 유일성

초기값 문제(IVP)에서, 솔루션(해)의 존재와 고유성은 해석학적 증명을 통해 설명할 수 있다.

피카르-린델뢰프 정리는 ƒ가 t0와 y0를 포함하는 구간 내에서 연속적이고 변수 y가 립시츠 조건을 만족 할 때, t₀를 포함하는 구간 내에서 유일한 솔루션이 있음을 보장한다. 이 정리는 문제를 동등한 적분 방정식으로 재 형성함으로 증명이 가능하다.이 적분은 한 함수에서 다른 함수로 매핑되는 연산으로 고려될 수 있으며, 그 솔루션은 그 연산의 고정점이 된다. 초기치 문제의 솔루션인 유일한 고정점이 존재한다는것을 보이기 위하여 바나흐 고정점 정리를 사용한다.

이전의 피카르-린델뢰프 정리의 증명은 적분 방정식의 솔루션이자 초기값 문제의 솔루션에 수렴하는 함수의 시퀀스를 생성한다. 이러한 구조는"피카르의 방법"또는"연속 근사 방법"이라고 불린다. 이 방법은 바나흐 고정점 정리의 특별한 경우에 해당한다.

오카무라 히로시는 필요 충분 조건으로 초기치 문제의 솔루션은 유일하다는것을 얻었다. 이 조건은 시스템에 대한 Lyapunov 함수의 존재와 관계가 있다.

어떤 때는 함수 ƒ는 C¹클래스가 아니거나 립시츠 연속함수일 때도 있다. 그래서 보통의 결과는 지역적으로 유일한 솔루션이 존재하는 것을 보장하지 않는다. 하지만 페아노 존재 정리는 ƒ가 연속이면 항상 지역적으로 솔루션이 존재하는 것을 보장한다;문제는 유일성을 보장할 수 있는 것은 없다는 것이다. 이 결과는 Coddington&Levinson(1955,정리 1.3)이나 Robinson(2001년,정리 2.6)에서 찾을 수도 있다. 더 일반적인 결과는 Carathéodory 존재 정리이며, 이것은 불연속적인 함수 ƒ에서 존재성을 증명할 수 있다.

예시

간단한 예로 ${\displaystyle y'=0.85y}$ 와 ${\displaystyle y(0)=19}$. 우리는 이 두 식을 만족하는 식 ${\displaystyle y(t)}$를 찾으려고 한다.

${\displaystyle y'={dy \over dt}}$를 적고 시작하면, 다음과 같다.

${\displaystyle {dy \over dt}=0.85y}$

이제 식을 ${\displaystyle y}$가 왼쪽에 있고 ${\displaystyle t}$가 오른쪽에 있도록 정리하자.

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}=0.85dt}$

이제 양변을 적분하자(이것은 모르는 상수 ${\displaystyle B}$를 생성한다).

${\displaystyle \ln \left\vert y\right\vert =0.85t+B}$

${\displaystyle \ln }$을 제거하자

${\displaystyle |y|=e^{B}e^{0.85t}}$

 ${\displaystyle C}$를 다음과 같이 정의된 새로운 상수로 두자;${\displaystyle C=\pm e^{B}}$, 그러면 다음과 같이 변형된다.

${\displaystyle y=Ce^{0.85t}}$

이제 우리는 ${\displaystyle C}$의 값을 알 필요가 있다. 주어진 식인 ${\displaystyle y(0)=19}$를 사용하여 0을 ${\displaystyle t}$에, 19를 ${\displaystyle y}$에 대입해 보자.

${\displaystyle {\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}}$

${\displaystyle C=19}$

이것으로 최종적인 솔루션은 ${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$다.

두 번째 예제

아래의 식에서

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

다음의 솔루션을 알 수 있다.

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1}$

왜나하면,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

같이 보기

• 경계값 문제
• 정의 통합
• 적분 곡선

참고 문헌

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). 《Theory of ordinary differential equations》. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc.
• Hirsch, Morris W. and Smale, Stephen (1974). 《Differential equations, dynamical systems, and linear algebra》. New York-London: Academic Press. CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
• Okamura, Hirosi (1942). “Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano”. 《Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A.》 (프랑스어) 24: 21–28. MR 0031614.
• Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). 《Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations》. Series in real analysis 6. World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2.
• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003). 《Handbook of exact solutions for ordinary differential equations》 2판. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-297-2.
• Robinson, James C. (2001). 《Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63204-8.
• (인문사회학을 위한 수학 -미적분학과 응용,최정환,고려대학교출판문화원)https://kupress.com/books/9123/ Archived 2020년 8월 14일 - 웨이백 머신