다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
- 위상군
그렇다면, 올이 이고 밑이 인 주다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 올이 인 올다발
- 연속 오른쪽 작용
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- 모든 , 에 대하여, . 즉, 각 에 대하여, 는 올 위에 작용한다.
- 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 인 가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 에 대하여, 오른쪽 작용 는 정추이적 작용이다. 여기서 는 위의 의 올이다.
두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.
두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.
- !}\uparrow \scriptstyle \exists !\!\!\!\!&{\!\!\!\!\color {White}^{\cdot }}\searrow ^{\cdot }\!\!\!\!\\P&{\xleftarrow {p}}&\bullet &{\xrightarrow {p'}}&P\\&{_{\pi }}\searrow {\color {White}_{\pi }}&&{\color {White}_{\pi }}\swarrow {_{\pi }}\\&&X\end{matrix}}}
만약
- 가 리 군이며,
- 와 가 매끄러운 다양체이며,
- 가 매끄러운 함수이며,
- 의 작용 역시 매끄러운 함수라면
를 매끄러운 주다발(-主-, 영어: smooth principal bundle)이라고 한다.
주다발 사상
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 두 위상 공간 ,
- 위상군 와
- -주다발 ,
이 두 주다발 사이의 주다발 사상(영어: principal bundle morphism) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:§1
- 연속 함수
- 연속 함수
- 연속 군 준동형
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.
주다발 사상 에서, 만약 이며, 가 항등 함수이며, 가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) 를 구조군 축소(構造群縮小, 영어: reduction of structure group)라고 한다.
주연장
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 차원 매끄러운 다양체
- 리 군
- 위의 매끄러운 -주다발
- 자연수 (음이 아닌 정수)
그렇다면, 다음과 같은, 위의 올다발을 정의할 수 있다.
여기서
- 은 위의 차 틀다발이다. 이는 위의 주다발이며, 그 올군은 차 차원 제트 군 이다.
- 는 위의 차 제트 다발이다. 이는 위의 벡터 다발이다.
- 은 위의 두 올다발의 곱이다.
즉, 국소적으로 의 점은 다음과 같은 꼴이다.
여기서
- 은 단사 매끄러운 함수이며, 은 열린집합이며, 역시 열린집합이다.
- 는 의, 에서의 차 제트이다.
- 는 의 단면이다.
이는 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은
이다. 여기서
이며, 그 군 연산은 다음과 같다.
이 군은 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.
이를 의 차 주연장(主延長, 영어: principal prolongation)이라고 한다.[2]:150–151, §15.3[3]:Definition 3.4
주다발의 개념은 위상수학 및 미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론 및 게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.