오일러 항등식

수학에서 오일러 항등식(영어: Euler's identity)은 자연로그의 밑(${\displaystyle e}$)과 허수 단위(${\displaystyle i}$), 원주율(${\displaystyle \pi }$) 사이의 간명한 관계를 나타내는 등식으로, "세상에서 가장 아름다운 등식"으로 알려져 있다.

정의

오일러 항등식은 다음과 같다.

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

다음과 같이도 쓰인다.

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

여기서

• ${\displaystyle e}$는 자연 로그의 밑이다.
• ${\displaystyle i}$는 허수 단위이다.
• ${\displaystyle \pi }$는 원주율이다.

증명

일반각에서의 오일러의 등식

오일러 항등식은 다음과 같은 오일러 공식의 특수한 경우이다.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\qquad \forall x\in \mathbb {R} }$

여기에

${\displaystyle x=\pi }$

를 대입하면 오일러 항등식을 얻을 수 있다.

역사

1768년에 출판된 레온하르트 오일러의 책 《Introduction》에 수록되었다.

같이 보기

• 오일러의 공식
• 원주율

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler identity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.