브로카르 각
삼각형 의 제1·제2 브로카르 점 , 은 등각 켤레점이다. 즉, 위 6개의 각의 크기는 일치한다. 이 각의 크기를 삼각형 의 브로카르 각(영어: Brocard angle) 라고 한다. 삼각형 의 꼭짓점 , , 의 대변의 길이를 , , , 넓이를 라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다.[2]:266–267, §[XVI.]434–435
모든 삼각형의 브로카르 각은 이하이며, 정확히 일 필요 충분 조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).[1]:104, §10.2
보다 일반적으로, 볼록 다각형 () 및 그 내부에 속하는 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정다각형과 그 중심이다.[3]
모든 에 대하여 이라고 가정하자. 그렇다면 모든 에 대하여, 인 선분 위의 점 가 존재한다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
또한 산술-기하 평균 부등식과 옌센 부등식에 따라 다음이 성립한다.
따라서 위 두 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든 에 대하여 이며,
이다. 또한
이다. 따라서 볼록 다각형 은 정다각형이며 는 그 중심이다.
삼각형 의 제1·제2 브로카르 점을 , , 외심을 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]:106, §10.2
삼각형 의 제1 브로카르 점 를 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하고, 제2 브로카르 점 을 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 두 브로카르 점의 수족 삼각형 와 은 합동이며, 둘 모두 원래 삼각형 와 닮음이다.[2]:269, §[XVI.]441
삼각형 의 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 한 꼭짓점 와 제1 브로카르 점 를 지나는 직선 , 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점 를 지나는 대칭 중선 , 남은 꼭짓점 를 지나는 중선 는 한 점에서 만난다. 반대로, 한 꼭짓점 와 제2 브로카르 점 을 지나는 직선 , 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점 를 지나는 대칭 중선 , 남은 꼭짓점 를 지나는 중선 는 한 점에서 만난다.[1]:122, §10.6
제1 브로카르 삼각형과 브로카르 원
삼각형 의 각각 제1·제2 브로카르 점 와 을 지나는 두 체바 직선 와 , 와 , 와 의 교점 , , 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 제1 브로카르 삼각형(영어: first Brocard triangle) 라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선 위의 점이다.
삼각형 의 대칭 중점 와 외심 사이의 선분 를 지름으로 하는 원을 삼각형 의 브로카르 원(영어: Brocard circle)이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원과 동심원이다. 삼각형 의 제1·제2 브로카르 점 , 은 모두 브로카르 원 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형 의 외접원이다.
제1 브로카르 삼각형 는 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형 와 닮음이다.[1]:112, §10.4
이는 원주각의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
제1 브로카르 삼각형 와 원래 삼각형 의 무게 중심은 일치한다.[1]:112, §10.4 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 각 변 , , 의 중점 , , 를 지나는 원래 삼각형의 변 , , 의 수선은 원래 삼각형의 구점원의 중심 에서 만난다.[1]:117, §10.4
점 를 변 에 대하여 반사시킨 상을 이라고 하자. 그렇다면
이므로 삼각형 와 은 닮음이다. 마찬가지로
이므로 삼각형 와 는 닮음이다. 또한 이므로 삼각형 와 는 합동이다. 따라서
이다. 선분 , 을 각각 점 , 에 대하여 시계 방향 만큼 회전시킨 상은 모두 변 와 평행하므로, 와 은 평행한다. 따라서 사각형 는 평행 사변형이며, 대각선 와 는 그 교점 에서 서로를 이등분한다. 선분 는 삼각형 와 의 공통 꼭짓점 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 와 의 무게 중심은 일치한다. 선분 와 의 공통 중점을 라고 하자. 그렇다면 선분 는 삼각형 와 의 공통 꼭짓점 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 와 의 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형 와 의 무게 중심은 일치한다.
삼각형 의 외심 와 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 에 무게 중심 를 닮음 중심으로 하고 을 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 가한 상은 각각 구점원의 중심 과 점 , , 이다. , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선이다. 위 변환은 직선의 방향을 보존하므로 과 , 과 , 과 는 평행한다. 따라서 , , 은 각각 삼각형의 변 , , 의 수선이다.
제2 브로카르 삼각형
삼각형 의 꼭짓점 또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변 또는 에 접하는 두 원의 교점 , 꼭짓점 또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변 또는 에 접하는 두 원의 교점 , 꼭짓점 또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변 또는 에 접하는 두 원의 교점 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 제2 브로카르 삼각형(영어: second Brocard triangle) 라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 대칭 중선 , , 위의 점이다.
브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형 의 외접원이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 선분 , , 를 연장한 외접원의 현의 중점이다.[1]:118, §10.4
슈타이너 점과 타리 점
삼각형 의 각 꼭짓점 , , 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 , , 의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 슈타이너 점(영어: Steiner point) 라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형 의 각 꼭짓점 , , 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 , , 의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 타리 점(영어: Tarry point) 라고 한다 (가스통 타리, 프랑스어: Gaston Tarry). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 대척점이다.[1]:119–120, §10.5, (a)
꼭짓점 , 를 지나는 변 , 의 평행선의 교점을 라고 하자. 그렇다면 삼각형 와 가 닮음이므로
이다. 따라서 는 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라
이다. 와 가 평행하므로 는 와 평행한다.
점 의 대척점을 라고 하자. 그렇다면 선분 가 외접원의 지름이므로 , , 는 각각 , , 의 수선이다. 따라서 , , 는 , , 의 수선이다.
슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.[1]:120, §10.5, (a)
삼각형 의 대칭 중점 는 제1 브로카르 삼각형 의 슈타이너 점이다.[1]:121, §10.5, (b)
노이베르크 원
삼각형 의 브로카르 각을 라고 하자. 그렇다면 각각 선분 , , 를 한 변으로 하는 삼각형 , , 의 브로카르 각이 가 되게 만드는 점 , , 의 자취는 각각 꼭짓점 , , 를 지나는 원과 이를 각각 변 , , 에 대하여 반사한 상이다. 총 6개의 원 가운데 각각 꼭짓점 , , 를 지나는 3개의 원을 삼각형 의 노이베르크 원(영어: Neuberg circles)이라고 한다 (요제프 노이베르크, 룩셈부르크어: Joseph Neuberg).
꼭짓점 , , 를 지나는 노이베르크 원의 중심 , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심 , , 와 삼각형의 변 , , 사이의 거리는 각각 다음과 같다.[2]:287, §[XVII.]480
노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다.[2]:287, §[XVII.]480
꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분 및 변화하는 점 에 대한 (꼭짓점 를 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 그 두 극한점 , 과 선분 는 두 정삼각형 , 를 이룬다.[2]:289, §[XVII.]484
오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레(독일어: August Leopold Crelle)가 1816년에 도입하였다.[3]:495 그 후 카를 프리드리히 안드레아스 야코비(독일어: Karl Friedrich Andreas Jacobi)를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다.[3]:495 앙리 브로카르(프랑스어: Henri Brocard)가 1875년에 재발견하였다.[3]:495