그라스만 다양체
선형공간의 k차원 부분공간들이 이루는 다양체 / From Wikipedia, the free encyclopedia
대수기하학에서 그라스만 다양체(Graßmann多樣體, 영어: Grassmannian)는 어떤 선형 공간의 주어진 차원의 부분 선형 공간들을 분류하는 모듈라이 공간이다.
그라스만 다양체 Gr(k, V)는 n-차원 선형 공간 의 모든 k-차원 부분 선형 공간들의 집합이 이루는 다양체다. 예를 들어, Gr(1, V)는
의 원점을 지나는 모든 직선들의 집합이다. 즉
로부터 얻은 사영공간과 같다.[1] [2]
가 실수 또는 복소수 선형 공간인 경우 그라스마니안은 매끄러운 콤팩트 다양체이다.[3] 일반적으로는
차원 매끄러운 대수 다형체의 구조를 가지고 있다.
자명하지 않은 그라스마니안에 대한 최초의 작업은 에 해당하는 사영 3-공간에서 사영 직선 집합을 연구하고 현재 플뤼커 좌표라고 하는 것으로 매개변수화한 율리우스 플뤼커에 의한 것이다. 헤르만 그라스만은 나중에 일반적으로 개념을 도입했다.
그라스마니안에 대한 표기법은 저자마다 다르다. 표기법에는 ,
,
또는
포함되어
차원 선형 공간
의
차원 부분 공간의 그라스마니안을 나타낸다.