표준환

대수기하학에서 표준환(標準環, 영어: canonical ring)은 주어진 대수다양체의 표준 선다발의 텐서 거듭제곱들의 단면들로 구성된 등급환이다.

정의

${\displaystyle X}$가 대수다양체라고 하고, 그 표준 선다발을 ${\displaystyle \omega _{X}}$라고 하자. 그렇다면 표준환 ${\displaystyle R(X)}$는 다음과 같은 등급환이다.

${\displaystyle R(X)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}(X)}$

${\displaystyle R_{n}(X)=H^{0}(X,\omega _{X}^{n})}$

여기서 ${\displaystyle H^{0}}$은 0차 층 코호몰로지, 즉 단면들의 아벨 군이다. ${\displaystyle \omega _{X}^{n}}$은 표준 선다발의 ${\displaystyle n}$승 텐서곱이다.

다중 종수

대수다양체 ${\displaystyle X}$의 다중 종수(多重種數, 영어: plurigenus, 복수 영어: plurigenera)는 표준환의 각 등급 ${\displaystyle R_{n}}$의 차원들이다.^{[1]:190, Exercise II.8.8}

${\displaystyle P_{n}=\dim R_{n}(X)=h^{0}(X,\omega _{X}^{n})}$

${\displaystyle P_{0}}$은 항상 1이다. ${\displaystyle P_{n}}$은 모두 음이 아닌 정수들이다.

표준 모형

대수다양체 ${\displaystyle X}$의 표준환 ${\displaystyle R}$에 대한 사영 공간 ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$을 표준 모형(영어: standard model)이라고 한다. 이는 모리 시게후미의 최소 모형 프로그램(minimal model program)의 중요한 요소다.

고다이라 차원

표준 모형의 차원을 고다이라 차원([小平]次元, 영어: Kodaira dimension) ${\displaystyle \kappa }$라고 하며,^[1]:421 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

• ${\displaystyle P_{n}\in O(d^{\kappa })}$인 최소의 ${\displaystyle \kappa }$. 여기서 ${\displaystyle O}$는 점근 표기법이다.

만약 모든 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle P_{n}=0}$이라면, 고다이라 차원을 ${\displaystyle \kappa =-\infty }$로 정의한다. 고다이라 차원은 고다이라 구니히코의 이름을 땄다.

고다이라 차원은 다음을 만족시킨다.

${\displaystyle \kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)}$

즉, 차원의 일종으로 생각할 수 있다.

성질

표준환은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다. 이에 따라, 모든 다중 종수 및 고다이라 차원 역시 쌍유리 동치 불변량이다.

각주

1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

• Kawamata, Yujiro (2009). “Finite generation of a canonical ring”. 《Current Developments in Mathematics》 (영어) 2007: 43-76. arXiv:0804.3151. MR 2532995. Zbl 05578294.

같이 보기

• 엔리퀘스-고다이라 분류

외부 링크

• “Kodaira dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.