ಅಂಕಗಣಿತ(Aritmetic)ವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಪರಿಕ್ರಿಯೆ(Operations)ಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಗಣಿತದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ.ಇದು ನಮಗೆ 'ಎಷ್ಟು?', 'ಎಷ್ಟು ದೂರ?', 'ಎಷ್ಟು ಉದ್ದ?' ಮುಂತಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಜ್ಞಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ನಾಗರಿಕತೆಯ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ ಅನಾದಿಕಾಲದಿಂದಲೂ ಅಂಕಗಣಿತ
ಅತ್ಯಾವಶ್ಯಕವಾಗಿದ್ದಿತೆಂಬುದು ¸ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೇ ಇದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಜನಾಂಗಗಳ ಪೂರ್ವಿಕರು
ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಹಳ ಶ್ರಮಿಸಿರಬೇಕು. ಅಂಕಗಣಿತದ ತಳಹದಿಯಾಗಿ, ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನು
ಎಣಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೆಳೆದು ಬಂದು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೂಡುವ, ಕಳೆಯುವ,
ಗುಣಿಸುವ ಇತ್ಯಾದಿ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು. ಈಗ ವಿದ್ಯಾಭ್ಯಾಸದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗುವ ಬಾಲಕ ಬಾಲಿಕೆಯರು ಇವನ್ನೆಲ್ಲಾ ಕಲಿಯುವುದರಿಂದ
ಈ ಶಾಸ್ತ್ರವು ಕೇವಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವೆಂದು, ಸುಲಭವೆಂದು ಬಾವನೆ ಬರಬಹುದು. ಆದರೆ
ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮವಿಲ್ಲದೆ ಅನೇಕ ಜನಾಂಗಗಳು
ಬಹಳ ಕಷ್ಟಪಟ್ಟುವು ಎಂಬುದು ಚಾರಿತ್ರಿಕ ವಿಚಾರ.ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು I, II, III, IV,
V, ……X.L.C ಮುಂತಾದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದಲೇ ಸಂಕಲನಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು
ಎಂದೂ ಅದರ ದೆಸೆಯಿಂದ ಅವರು ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಹಿಂದೆ
ಬಿದ್ದಿದ್ದರು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಸೊನ್ನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯೂ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯೂ
ಅದರ ಉಪಯೋಗವೂ ಸ್ವಲ್ಪ ತಡವಾಗಿಯೇ ಬಂದವು.
ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತ ಕಲಿಸುವ ಕೋಷ್ಟಕ, ಲುಸಾನೆ, 1835
ಅಂಕಗಣಿತವು ನಮ್ಮ ದಿನನಿತ್ಯದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಪಡೆದಿದೆ.ದಿನನಿತ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.ಸಮಯ ಹೇಳುವುದರಿಂದ ಹಿಡಿದು ಕ್ರಿಕೆಟ್‌ನ ಸ್ಕೋರ್ ಹೇಳುವಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತ ಆವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.ವಾಣಿಜ್ಯ ವ್ಯವಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರ ಇಡಲು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತ ಉಪಯೋಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಬರಲು ಕಷ್ಟಸಾದ್ಯ.ಓದುವುದು,ಬರೆಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವೂ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಬ್ಬನನ್ನು ವಿದ್ಯಾವಂತ ಎನ್ನಲು ಸಾದ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಅಂಕಗಣಿತ ಅಕ್ಷರಶಃ ಎಣಿಕೆಯ ಕಲೆ. ಕಲಾ ಅಥವಾ ಕೌಶಲ್ಯ; (ಗಣನೆ - ಎಣಿಸು); ಅಂಕ (ಸಂಸ್ಕೃತದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನ ಪದ.) ಶಬ್ದಾರ್ಥವಿವರಣೆ- ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣನೆಯೇ ಅಂಕಗಣಿತ. ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಎಣಿಸುವ ಕಲೆ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತವೆನ್ನಬಹುದು.
ಹೀಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಮೊಟ್ಟಮೊದಲು ಉಪಯೋಗಿಸಿದವರು ಭಾರತೀಯರು- ಆರ್ಯರು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವರಿಂದ ಅರಬ್ಬೀ ಜನರು ಅದನ್ನು ಕಲಿತುಕೊಂಡು ಪಶ್ಚಿಮದ ಯೂರೋಪು ಖಂಡದ ಜನರಿಗೆ ಈಗ್ಗೆ ಸುಮಾರು 800 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿಸಿದರು. ಅದಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಅವರು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನೆ ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಇದು ಬಹಳ ಬಹಳ ತೊಂದರೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿತ್ತು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯ ಇತಿಹಾಸ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಪೂ.1200 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಗಣಿತ ಶಾಸ್ರಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದರು. ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ. ಪೂ. 500ಕ್ಕೂ ಮೊದಲು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಬಾಯಿ ಮೂಲಕ (ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಸಂವಹನ) ಗಣಿತ ವಿಷಯವನ್ನು ತಿಳಿಯುತ್ತಿದ್ದರು. ನಂತರ ಕೈಬರಹ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಮೊಟ್ಟ ಮೊದಲ ಗಣಿತ ವಿಷಯದ ಪ್ರಾಚೀನ ಕೈಬರಹದ ಪ್ರತಿ ಈಗಿನ ಪಾಕಿಸ್ತಾನದ ಪೇಷಾವರದ ಹತ್ತಿರ 1881ರಲ್ಲಿ ಬಕ್ಶಾಲಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಬಕ್ಶಾಲಿ ಹಸ್ತಪ್ರತಿ ಎಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಗತ್ತಿನಾದ್ಯಂತ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿರುವ 10ರ ಮೂಲಮಾನ ಪದ್ದತಿಯೂ ಭಾರತದ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿದೆ.
ಭಾರತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಾಲ, ವೇದಗಳ ಕಾಲದಷ್ಟು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ದೊರಕಿರುವ ವೇದ ಕಾಲದ ಮೊಟ್ಟ ಮೊದಲ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ರಂಥ ಶೆಲ್ವ ಸೂತ್ರ ಅಥವಾ ಶೆಲ್ಬ ಸೂತ್ರ. ಇವು ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾರೇಖೆಯ ನಿಯಮಗಳು. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಯಜ್ಞಕುಂಡದ ರಚನೆಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಈಗ ಕಲಿಯುತ್ತಿರುವ ಸರ್ಡ್'ಗಳಬಗ್ಗೆಯೂ ಉಲ್ಲೇಖವಿದೆ. ಬೋಧಾಯನ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಅವರ ಆಪಸ್ಥಂಬ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ವಿಷಯಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ 2 ರ ವರ್ಗ ಮೂಲವನ್ನು 5 ದಶಾಂಶದ ವರೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. (ಉದಾ:1+1/3+1/3*4 -1/3*4*34’)
ಈ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ ಲಂಬಕೋನ ಸೂತ್ರ ಪೈಥಾಗರನು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡುದಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹಿಂದಿನದು. ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಚಚ್ಚೌಕವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ವಿಷಯವೂ ಇದರಲ್ಲಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದಿದ್ದ ಆದುನಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.
π (ಪೈ) ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆಯನ್ನೂ ಆರ್ಯಭಟನು (1ನೇ ಕ್ರಿ.ಶ. 476) 4 ದಶಾಂಸದವರೆಗೆ ಕರಾರುವಾಕ್ಕಾಗಿ, ಪೈ = 3.1416 ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದನು. ಅದನ್ನು ಅನುಪಪತ್ತಿ (ಅತಾರ್ಕಿಕ) ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದಿದ್ದನು. ಇದೇ ವಿಷಯವನ್ನು 1761ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲ್ಯಾಂಬಾರ್'ಟ್ ಸಾಧಿಸಿದನು. ಅದನ್ನೇ 1882ರಲ್ಲಿ ಲಿಂಡ್’ಮನ್’ನು ಊಹಾತೀತವೆಂದನು. ಈ ಹಿಂದೆಹೇಳಿದಂತೆ '0' ಯ ಉಪಯೋಗ ಮತ್ತು ದಶಮಾನ ಮೂಲ ಪದ್ದತಿ ಜಗತ್ತಿಗೆ ಭಾರತದ ಕೊಡುಗೆ. ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸೊನ್ನೆಯ ಕೊಡುಗೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೌದ್ಧಿಕ ಕೊಡುಗೆ ಇನ್ನೊಂದಿಲ್ಲವೆಂದು ಗಣಿತಜ್ಞ ಹಾಗೂ ಇತಿಹಾಸಜ್ಞ ಫ್ಲೋರಿಯನ್’ ಕಾಜೊರಿ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ.
ಕ್ರಿ.ಪೂ. 200 -500ರ ಜೈನರ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ 10 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು 13 ದಶಾಂಸದ ವರೆಗೆ ತಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೇ ಅಂಕಗಣಿತ ಸೂತ್ರದ ಕೂಡುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಾಕಾರ ಭಾಗಾಹಾರಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಗಣಿತವನ್ನೂ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕೂಡ ತಿಳಿದಿದ್ದರು. 9ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕನಾಟಕದಲ್ಲಿದ್ದ ಮಹಾವೀರನೆಂಬ ಜೈನ ವಿದ್ವಾಂಸನು ಗಣಿತ ಸಾರಸಂಗ್ರಹ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥವನ್ನು ರಚಿಸಿರುವನು. 1ನೇ ಆರ್ಯಭಟನು ಬಾರತದ ಹಿಂದಿನ ಖಗೋಲ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಅತಿ ಶ್ರೇಷ್ಠನೆನಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಅವನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ (ಟ್ರಿಗ್ನೊಮೆಟ್ರಿ) ಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (ಸೈನ್)ಸೂತ್ರವನ್ನೂ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ. ಕ್ರಿ.ಶ. 6 ನೇ ಶತಮಾನದ 1 ನೇ ಭಾಸ್ಕರ,ಮತ್ತು 628 ರಲ್ಲಿದ್ದ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನೂ ಬೀಜಗಣಿತ, ರೇಖಾಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರು. 2ನೇ ಭಾಸ್ಕರನು ಚಕ್ರವಾಲ ಎಂಬ ಸರಣೀಅಂಕಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಳಿದ್ದನು. ಇದನ್ನು ಮುಂದೆ 1732ರಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಪೂರ್ಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೊಟ್ಟನು. ನಂತರದಲ್ಲಿ ಕೇರಳದ ನೀಲಕಂಟ ಮತ್ತು ಮಾಧವರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಷ್ಟು ಕೊಡುಗೆನೀಡಿದ್ದಾರೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿದ್ದ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಕೇವಲ 32 ವರ್ಷ ಜೀವಿಸಿದ್ದರೂ ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರ, ಉನ್ನತ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. [1]
ಹೀಗೆ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಹಾಕಿ ಬರೆಯುವುದರ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಾನ ಸೂಚಿಸಲು '೦' (ಸೊನ್ನೆ) ಬಳಸಿದ್ದರಿಂದ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಬಹಳ ಸಹಾಯವಾಯಿತು. ಉದಾ:40 ರಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ(ವಸ್ತು)ಏನೂ ಇಲ್ಲ;ಆ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ '೦'; 10ರ ಕಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಇದೆ 40.'೦'ಕೇವಲ ಸ್ಥಾನ ಸೂಚಕ.
ಒಂದು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 1 ನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ವಿವಿಧ ನಾಗರೀಕತೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹತ್ತು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಎಲ್ಲ ಆಧುನಿಕ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಈ ಮೂಲಮಾನವನ್ನು (ಬೇಸ್) 10, ಅಥವಾ ದಶ ಮೂಲಮಾನ ಅಥವಾದಶಮಾನ ಪದ್ಧತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೆಂದು ಅಥವಾ 10 ರ ಮೂಲಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವುದು.
ಸರಣಿ: 1+1=2+1+3+1=4+1=5+1=6+1=7+1=8+1=9+1=?ಮುಂದೆ ಅಂಕೆ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹತ್ತು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ + 1ಎಡಕ್ಕೆ ಮುಂದೆ 0:10;10+1=11+1=12+1=13 - - - ಇತ್ಯಾದಿ
ಮೂಲಮಾನ (ಬೇಸ್) 10 ರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, 10 ರ ಘಟಗಳು 10 ರ ಘಾತದಲ್ಲಿ ಎಡಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ, ಹತ್ತರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 10 ರ ವಿವಿಧ ಬೆಲೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅಂಕೆಗಳು ಎಡದ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 1853.-ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಿಯ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ತಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹೆಚ್ಚನ ಬೆಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು 10 ಇನ್ನೊಂದು. ಎಡ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಯುವುದು. (ಇಲ್ಲಿ 3 1 ರ (ಬಿಡಿ) ಬೆಲೆ 3x1 =3, ಆಗಿದೆ ; ಎರಡನೇ 10 (ಇಲ್ಲಿ, 5 x 10=50, ಅಥವಾ 50; ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನ ಮೌಲ್ಯ 8 x 100=800, ನಾಲ್ಕನೆಯ 1, 1 x 1000 =1000)
ಸ್ಥಾನಗಳು ಏಕ, ದಶಕ, ಶತಕ, ಸಾವರ, ದಶಸಾವಿರ, ಲಕ್ಷ, ದಶಲಕ್ಷ, ಕೋಟಿ, ದಶಕೋಟಿ, ಶತಕೋಟಿ, ಅರ್ಬುದ(ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ)ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಹತ್ತರಂತೆ ಬೆಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಸರುಗಳಿವೆ.ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಯುತ್ತದೆ.ಸಂಖ್ಯಾಪಠಣ numeration
29,684,332,976 -ಇಪ್ಪತೊಂಭತ್ತು ಬಿಲಿಯನ್,ಆರುನೂರಾ ಎಂಭತ್ನಾಲ್ಕು ಮಿಲಿಯನ್ ಮುನ್ನೂರಾಮುವತ್ತೆರಡು ಸಾವಿರದ ಒಂಭೈನೂರಾ ಎಪ್ಪತ್ತಾರು.
ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ (ಭಾಗಾಹಾರ:ಭಾಗಾಕಾರ) ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಂಕೆಗಳು ಎಂಬ ಪದ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1,2,3 **), ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (-1,-2,-3 **), ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು (1/5, 2/5, 3/5) ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಕೂಡುವುದು ಅಥವಾ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವುದು ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.
ಸಂಕಲನ ತತ್ವ
ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೂಡಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಧನ-‘+’ ಚಿನ್ಹೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ ಸತತ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಏರಿಕೆಯ ಎಣಿಕೆ ಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಹಣ್ಣು ಮತ್ತು ಐದು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿ ಲೆಖ್ಖಹಾಕಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ ನಂತರ 1 ರಿಂದ 9 ರ ವರೆಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಯಾಗಿ ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಟ್ಟು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಕೂಡುವ ಕ್ರಿಯೆ ಮಾಡುವುದು. ಅದಕ್ಕೆ ಕೂಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಇದು ಕೂಡುವ ಸರಳ ಕ್ರಿಯಾದರೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಬೇಕು. ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಬದಲು ಗಣಕವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಎರದೂ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ಕೂಡುವಿಕೆ)ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಚುರುಕಿನ ವಿಧಾನ. ಸರಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಅಥವಾ) ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಣಕ ಪಟ್ಟಿ (ಮಗ್ಗಿ) ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಒಂದರಿಂದ ಹತ್ತರ ವರೆಗಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡು ತಕ್ಷಣ ಮಾಡಬೇಕು. ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ 0 ಯಿಂದ 9 ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲ ಕಂಬ ಸಾಲಿನ 3 ಸೇಬು ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ 2ಸೇಬು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಒಟ್ಟು 5 ಸೇಬು
ಪಟ್ಟಿ:--(ಕಂಬ ಸಾಲು 3 +ಅಡ್ಡ ಸಾಲು 5 =ಸೇರುವ ಮನೆಯಲ್ಲಿ= 8 ಮೊತ್ತ.(3+5=8)
More information *, '5' ...
*
0
1
2
3
4
'5'
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
'3
3
4
5
6
7
='8'
9
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Close
ಉಪಯೋಗ:0 ಮತ್ತು 9 ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅಂಕಣದ (ಟೇಬಲ್’ನ) ಕಂಬ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮೊದಲ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕೂಡಿಸಬೇಕದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕೆಗಳ ಅಡ್ಡ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಂಬಸಾಲು ಸೇರುವ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಸಿಗುವುದು. ಇದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮನದಟ್ಟು ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ದೊಡ್ಡ ಅಂಕೆಗಲನ್ನು ಕೂಡುವಅಗ ಬೆರಳು ಎಣಿಸವ ಕೆಲಸ ತಪ್ಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಪ್ಪಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಸಮಯ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಲು ಸಹ ಸುಲಭ ಸಾಧ್ಯಮಾಡುವ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 25 + 36 + 48 ಸೇರಿಸಲು ಮೊದಲ ಎಣಿಕೆಯ 25 ರ ನಂತರ 26ನ್ನು ಎಣಿಸಿ, ನಂತರ 32 ಬಾರಿ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಎಣಿಸಿ ಮೊತ್ತ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಿಡಿ ಘಟಕಗಳು ಅಂಕಣದ ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹತ್ತರ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಕೂಡುವುದು ಆ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ. (ಮೇಲಿನ ಕೂಡುವ ಅಂಕಣ ನೋಡಿ)
ಮುಖ್ಯ ಚಿನ್ಹೆಗಳು
ಸಂಕಲನ, ಕೂಡುವುದು: '+' ಧನ(ಪ್ಲಸ್) ಗುರುತು.
ವ್ಯವಕಲನ, ಕಳೆಯುವುದು: '-' ಋಣ (ಮೈನಸ್) ಗುರುತು.
ಗುಣಾಕಾರ ಗುಣಿಸುವುದು: '×' ಗುಣಿಸು (ಇನ್'ಟು)ಗುರುತು.
ಭಾಗಾಹಾರ ಭಾಗಿಸುವುದು: '÷'
ಸಮ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೆಲೆ ಸಮ '=' ಸರಿ-ಸಮ,(ಈಕ್ವಲ್ಸ್)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (natural numbers) ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾ: ಆ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಆರು ನಾಣ್ಯಗಳು ಇವೆ" ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು: ಒಂದು ಹಣ್ಣು, ಎರಡು ಹಣ್ಣುಗಳು, ಮೂರು ಹಣ್ಣುಗಳು--ಇತ್ಯಾದಿ.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಹಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು (rational number ) ನಿರಂತರವಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಸುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ವುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುವರು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು(?) (integers) (ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು) (An integer -from the Latin integer meaning "whole") ಅಪೂರ್ಣ ಘಟಕವು ಇಲ್ಲದೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 21, 4, 0, ಮತ್ತು -2048,ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ 9.75, 5 1/2, ಮತ್ತು √2 ಇವು ಅಲ್ಲ.(ಈ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪದಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಈಗ ಚಿಕ್ಕ ಮಕ್ಕಳ ತಲೆಗೆ ತುಂಬಲಾಗುತ್ತಿದೆ)
ವಸ್ತು ಸೂಚಕ ಸಂಖ್ಯೆ (concrete number) ಮತ್ತು ಶುದ್ಧಸಂಖ್ಯೆ (abstract number) ಎಂಬ ವಿಭಾಗಗಳೂ ಇವೆ. ವಸ್ತುಗಳ ಕುರಿತು ಹೇಳುವುದು 5 ಪುಸ್ತಕ, 9 ಹಣ್ಣುಗಳು- ಹೀಗೆಹೇಳುವುದು ವಸ್ತು ಸೂಚಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನೂ ಸೂಚಿಸದೆ,9,7,5, ಹೀಗೆ ಹೇಳುವುದು ಶುದ್ಧಸಂಖ್ಯೆ(ಅಮೂರ್ತ). (ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೆಸರಿಡುವಲ್ಲಿ ,ವಿಂಗಡಿಸುವ ವಿಚಾರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮತವಿಲ್ಲ.)
ಕರ್ನಾಟಕದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಡ್ಯಾನಿಷ್ ಮೂಲದ್ದೆಂದು ಹೇಳಲಾದ ಮಣಿ ಚೌಕಟ್ಟು
ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೀರ್ಘ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಸರಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು, 35 + 42 + 29 ಸೇರಿಸಲು ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಎಣಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ 35 ನಂತರ 42 ನಂತರ 29ಎಣಿಸಿ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಅದರ ಬದಲು ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ದಶಕ,ಬಿಡಿ ಇರುವ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರೆ , ಕೂಡಿಸುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.
ಅಂಕಣ:
More information ಹತ್ತು, ಬಿಡಿ ...
ಹತ್ತು
ಬಿಡಿ
3
6
4
2
2
9
*
17
(90-> )
90
*
107
Close
ಇದರ ಅರ್ಥ: :36+42+29=30+6(+)40+2(+)20+9=30+40+20|+|6+2+9=17=10+7॰॰॰{90+10+7}=107
ಮೊದಲ ಘಟಕಗಳು (6 + 2+ 9) ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ =17; ನಂತರ ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರವ (3 + 4 + 9) 18. ನಂತರ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಟ್ಟು =90; 9 ಆದರೆ ಒಟ್ಟು, 9 ಎನ್ನುವದು ‘ಹತ್ತು’ಗಳು, ಅಥವಾ. ಅದರ ಅರ್ಥ 90 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು
ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಬಿಡಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಹತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಗ ಒಟ್ಟು 107 ಉತ್ತರ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹತ್ತಾರು ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲು ಸಮಯ ಉಳಿಸಿ ಸಂಕಲನ ಮಾಡಬಹುದು
ದೊಡ್ಡ ಅಂಕೆ
More information ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಾವಿರ ...
ಕೂಡಿ ಬಂದ ದಶಕ
1
2
1
ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಾವಿರ
ನೂರುಗಳು
ಹತ್ತುಗಳು
ಬಿಡಿಗಳು
3568
3
5
6
8
2473
2
4
7
3
1784
1
7
8
4
ಕೂಡಿ ಬಂದ ಉತ್ತರ
7
8
2
5
Close
ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3568+2473+1784 ಇವುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವಾಗ ಬಿಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿ ಬಂದ ಹತ್ತರ (ದಶಕ) ಹತ್ತರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ ಹತ್ತು ಮತ್ತು ನೂರರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಂದ 100 1000 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಅದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದೆ. ಅದನ್ನೆಲ್ಲಾ ಕೂಡಿದಾಗ 7825 ಉತ್ತರ ಬಂದಿದೆ. ಹೀಗೆ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಸಾಲಿನ ಸಂಕಲನ ವನ್ನಾದರೂ ಮಾಡಬಹುದು.
ರೂಢಿಕ್ರಮ
3568
2473
1784
7825
ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮ:
ಮೇಲಿನ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಅರ್ಥಮಡಿಕೊಂಡು ಕೂಡಬೆಕು.
1) 3568 =3000+500+60+8
2) 2473=2000+400+70+3
3) 1784 =1000+700+80+4
ವ್ಯವಕಲನ
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ವ್ಯವಕಲನವೆಂದು ಹೆಸರು. ಎ. ಮತ್ತು ಬಿ ಎರಡು ಗುಡ್ಡೆ ಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಲಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಎ ಯಲ್ಲಿ ಬಿ ಗಿಂತ ಎಷ್ಟು ಗೋಲಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎರಡು ಬಗೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. 1)ಬಿ ಯಲ್ಲಿ ಇರುವಷ್ಟೇ ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಎ ಯಿಂದ ಎತ್ತಿ ಹಾಕಬಹುದು. ಉಳಿದ ಗೋಲಿಗಳೇ ಎ ಗೂ ಬಿ ಗೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಇದು ಎ ಯ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಿ ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಕಳೆದಂತಯಿತು. 2) ಅಥವಾ ಬಿ ಯಲ್ಲಿರುವ ಗೋಲಿಗಳು ಎ ಯಲ್ಲಿ ಇರುವಷ್ಟು ಆಗುವರೆಗೂ ಹೊಸದಾಗಿ ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಬಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತಾ ಬರಬಹುದು. ಸೇರಿಸಿದ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಎರಡು ಗುಡ್ಡೆ ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಗೋಲಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು. (ಇದು ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮ ಪದ್ದತಿ -The arithmetic operation of subtraction is opposite, or inverse, operation to addition)
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯಗಳ ಮಧ್ಯೆ '-' ಈ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು (ಮೈನಸ್) ಹಾಕಿದರೆ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕೆಂದು ಅರ್ಥ. ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಶೋಧನೀಯ ಎಂದೂ, ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ ಶೋಧಕ ಎಂದೂ ಕಳೆದು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಶೇಷ ಅಥವಾ ಅಂತರ ಎಂದೂ ಹೇಳುವರು.
ಉದಾ: 9-4=5: ಇಲ್ಲಿ 9 ಶೋಧನೀಯ, 4 ಶೋಧಕ,5 ಶೇಷ.
ವ್ಯವಕಲನದ ನಿಯಮ: ಶೋಧನೀಯವೂ ಶೋಧಕವೂ ಒಂದೇ ಬಗೆಯ ಶುದ್ಧ (ಅಮೂರ್ತ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗರಬೇಕು. ಇಲ್ಲವೇ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಬಗೆಯ ವಸ್ತು ಸೂಚಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 7 ರಿಂದ 3 ರನ್ನೂ, 7ಅಡಿಯಿಂದ 3 ಅಡಿಯನ್ನೂ ಕಳೆಯ ಬಹುದು. ಆದರೆ 7 ಅಡಿಯಿಂದ 3 ರೂಪಾಯಿಯನ್ನು ಅಥವಾ 3 ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. (ಈ ನಿಯಮ ಸಂಕಲನಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು.)
ಶೋಧಕವನ್ನು (ಕಳೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ) ಶೋಧನೀಯದ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು -ಯಾವುದರಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕೋ ಅದು) ಕೆಳಗೆಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಶೋಧಕಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಶೋಧನೀಯ ಬರುವುದೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಆಸಂಖ್ಯಯೇ ಎರಡುಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಅದನ್ನು ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು.
ಉದಾ 1: 9876 ರಲ್ಲಿ 2345 ನ್ನು ಕಳೆ:
9876 ಶೋಧನೀಯ
-2345 ಶೋಧಕ
7531 ಶೇಷ: ಇಲ್ಲಿ ಶೋಧಕದ ಪ್ರತಿ ಅಂಕವೂ ಶೋಧನೀಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ; ಅದರಿಂದ ವ್ಯವಕಲನ ಸುಲಭ.
ಕ್ರಮ: ಬಲಗಡೆ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕೆಳ ಅಂಕೆಗೆ ಮೇಲಿದನ್ನ ಹೋಲಿಸು -
ಶೋಧಕವು ಶೋಧನೀಯಕ್ಕಿಂತ 7531 ಕಡಿಮೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರತಿ ಅಂಕವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾ ಬರೆಯುವುದು.
ಉದಾ 2: ಇದರಲ್ಲಿ ಕಳೆಯಬೇಕಾದ ಅಂಕಗಳು ದೊಡ್ಡವು ;ಅದರಿಂದ ಕೂಡುವಾಗ ದಶಕ ಸೇರಿಸಿದಂತೆ ಸೇರಿಸಿ ಹೇಳುತ್ತಾ ಉತ್ತರ ಬರೆಯುವುದು. ಇದು ಸಂಕಲನUದ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮ .
ಲೆಖ್ಖ:
76056 -ಶೋಧನೀಯ
-6789 -ಶೋಧಕ
69267 ಶೇಷ
ಕ್ರಮ: ಶೋಧಕದ 9ಕ್ಕೆ 7 ಸೇರಿದರೆ 16 (9 ತುದಿಗೆ 6 ಬರಬೇಕು) ,ಬಿಡಿ 7; 1 ದಶಕ +8 ದಶ =9 ಕ್ಕೆ 6 ಸೇರಿ 15; ಶೇಷದ ದಶಕದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 6; 1 ಶತ, 1+7 =8 +2 ಆದರೆ 10. ಶೇಷದ ಶತಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 2. ಮತ್ತೆ ಕೈಯಲ್ಲ 1 ಸಹಸ್ರದ ಘಟಕ; ಅದಕ್ಕೆ 1+6 =7 +9 =16 , ಶೇಷದ ಸಹಸ್ರ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಂದ 9 ಬರಿ.; ಕೈಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು 1 ದಶ ಸಹಸ್ರ ಇದೆ; ಅದಕ್ಕ 1 ಸೇರಿಸಿದರೆ +6 =7 ದಶಸಹಸ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ 6ನ್ನು ದಶ ಸಹಸ್ರ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಇದು 76056 ಕ್ಕೂ 6789 ಕ್ಕೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಆದರೆ ಹೀದಿನ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ದಶಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕಳೆಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ರೂಢಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ಕ್ರಮ 2: ಲೆಖ್ಖ:
76056 -ಶೋಧನೀಯ
-6789 -ಶೋಧಕ
69267 ಶೇಷ
ಕಳೆಯಬೇಕಾದ 6 7 8 9 ಗಳು ಮೇಲಿನ 76056 ಕೊನೆಯ 4 ಅಂಕೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡವು ಅದಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹಿಂದಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಲೆಯ ಘಟಕದಿಂದ 1 ಘಟಕವನ್ನು ಎರವಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕಳೆಯಬೇಕು.ಪ್ರತಿಬಾರಿಯೂ ಅದೇ ರೀತಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಕೆಯನ್ನೂ ಕಳೆಯಬೇಕು.
76056 ರಲ್ಲಿ 70 ಸಾವಿರ, 6 ಸಾವಿರ , 5 ಹತ್ತುಗಳು 6 ಬಿಡಿ ಇದೆ (ದೊಡ್ಡದರಿಂದ ಕಡ ತೆಗೆಯಬೇಕು).
ಪ್ರತಿಬಾರಿ ಎಡದಿಂದ 1 ಅಂಕೆಯನ್ನು ಕಡ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು 10 ಎಂದು ಲೆಖ್ಕ ಹಿಡಿದರೆ ಲೆಖ್ಖ ಸರಿಹೋಗುವುದು.
ವಿವರ:ಮೊದಲು 5 ಹತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ 1ದಶಕ ತೆಗೆದು 6ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸು, 16 ಆಯಿತು; ಅದರಲ್ಲಿ 9 ನ್ನು ಕಳೆ (ತೆಗೆ) 7 ಉಳಿಯಿತು- ಅದನ್ನು ಬಿಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆ. ಈಗ ಮೇಲಿನ ಅಂಕೆಯ ಐದು 10ರ ಘಟಕದಲ್ಲಿ 4 ಘಟಕಗಳು ಇವೆ. (ಅದು 40) , ಆ 4ರಲ್ಲಿ 8ನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು, ಕಡಿಮೆಯಾದ್ದರಿಂದ ಹಿಂದಿನ ಶತಕದ (100) ಘಟಕದಿಂದ ತೆಗೆ-ಆದರೆ ಅದು ಖಾಲಿ , ಅದರಿಂದ ಅದರ ಹಿಂದಿನ 1000 ದ 6 ಘಟಕದಿಂದ 1 ಘಟಕ (1000) ತೆಗೆ ಅದನ್ನು 100 ರ ಘಟಕಕ್ಕೆ ತಂದರೆ -ಅಲ್ಲಿ ನೂರರ 10 ಘಟಕ ಆಯಿತು ಅದರಲ್ಲಿ 1 ಘಟಕ ತಂದು ಉಳಿದ 4 ಕ್ಕೆ (5 ಹತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ 1 ತೆಗೆದು 4- 10ಗಳು ಇವೆ) ಸೇರಿಸಿದರೆ 14 (10ಗಳು) ಆಯಿತು. ಆ 14 ರಲ್ಲಿ 8 ನ್ನು ಕಳೆ - 6 ಶೇಷದ ದಶಕ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ. ಈಗ ಶತಕದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 10 ಘಟಕದಲ್ಲಿ 1 ಘಟಕ ತೆಗೆದಿದ್ದರಿಂದ 9 ಇದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ 7 ನ್ನು ಕಳೆ , 2 ಉಳಿಯಿತು . ಇನ್ನು 76 ಸಹಸ್ರದಲ್ಲಿ 1 ಸಹಸ್ರ ತೆಗೆದದ್ದರಿಂದ 75 ಸಹಸ್ರ ಮಾತ್ರಾ ಇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಹೀದಿನ 7ರಿಂದ 1 ನ್ನು ತಂದು 6-1= 5ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸು =15; ಈ 15 ರಲ್ಲಿ ಕೆಲಗಿನ 6 ನ್ನು ಕಳೆ; 9 ಉಳಿಯಿತು , ಅದಕ್ಕೂ ಹಿಂದಿನ 7 ರಲ್ಲಿ 1 ತೆಗೆದಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದಕಳೆಯುವ ಆಂಕೆ ಇಲ್ಲದ್ದರಿಂದ 6 ಇಳಿಸಿ ಬರೆ. ಇದು ಕಳೆಯುವ ರೂಡಿಯ ಕ್ರಮ.
ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದು 'ಕಡ'(ಸಾಲ-barrow)ಪಡೆದರೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ ಅದನ್ನು 10 ಎಂದು ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಕೊಟ್ಟು ಉಳಿದ ಅಂಕೆಗೆ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಅದೇ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು. ಹಿಂದಿನ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಕಳೆಯುವಾಗ ಮುಂದಿನ ಅಂಕೆಗೆ ಕಡ ಕೊಟ್ಟಿರುವುದನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಆ ಬಗೆಯ ತಪ್ಪುಗಳು ಆಗುವುವು.
More information 10000 ರ ಸ್ಥಾನ, 1000 ರ ಸ್ಥಾನ ...
10000 ರ ಸ್ಥಾನ
1000 ರ ಸ್ಥಾನ
100 ರ ಸ್ಥಾನ
10ರ ಸ್ಥಾನ
ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನ
76056 -ಶೋಧನೀಯ
( - )
6789 -ಶೋಧಕ
=
69267 ಶೇಷ
*
*
->ಕಡ:10 -1=9(1->ಪಕ್ಕಕೆ)
(5-1=4) 5ರಿಂದ 1 ಹತ್ತು ಪಕ್ಕಕೆ ->
->10 ಕಡ ಎಡದಿಂದ
1 ಘಟಕ ->ಪಕ್ಕಕೆ
->ಕಡ:10-1 =9(1->ಪಕ್ಕಕೆ
9 +0=9
->ಕಡ:10+4=14
10+6=16)
7
6
0 (9)
5
6
(-)
6
7
8
9
6(7-1)
9 (10-1)
2 (9-7=2)
6 (14-8=6)
7 (16-9=7)
Close
ದೊಡ್ಡದರಿಂದ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ (ವ್ಯವಕಲನ) ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಕಲಕವು (ಶೋಧಕ-ಕಳೆಯುವ ಆಂಕೆ) ವ್ಯವಕಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ಹಾಗೆ ಸಣ್ಣ ಅಂಕೆಯಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಕಳೆದಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉತ್ತರ ಬರುವುದು ನಿಶ್ಚಿತ. ಆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5 ರಿಂದ 2 ನ್ನು ಕಳೆದರೆ 3 ಉಳಿಯುವುದು. 3ರಿಂದ 3 ನ್ನು ಕಳೆದರೆ 0 ಉಳಿಯುವುದು. ಆದರೆ 3 ರಿಂದ 5 ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ (ಹಿಂದೆ ಇದನ್ನು ಅಸಹಜ ಕಲ್ಪನೆ ಎನ್ನುತ್ತಿದ್ದರು) -2 ಉಳಿಯುವುದು (- ಋಣ ಚಿನ್ಹೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ). ಇದನ್ನು (-2) ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುವರು.
ಒಂದು ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಲದಿಕ್ಕಿಗೆ ಚಲಿಸಿದರೆ ಅದು +0 1 2 3 * * * ಇತ್ಯಾದಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆಯುವುದು. ಅದೇ 0 ಯಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಅದೇ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಅಂಕೆಗಳ ರೇಖೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಲಕ್ಕೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಎಡಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.
5 ರಿಂದ 2 ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ ಈ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯಲ್ಲಿ 5 ಅಂಕೆಗಳವರೆಗೆ ಹೋಗಿ, 3 ಕಳೆಯಲು 3 ಅಂಕೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ (ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ) ಎಣಿಸುತ್ತಾ ಬರಬೇಕು. ಆಗ +2 ಉಳಿಯುವುದು; ಅದೇ +3 ರಿಂದ -5 ನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ ಬಲಗಡೆಯ +3ರಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಋಣದ ಕಡೆ ಚಲಿಸಬೇಕು; ಹಾಗೆ ಎಡ ದಿಕ್ಕಿಗೆ 5 ಎಣಿಸಿದಾಗ -2 ಕ್ಕೆ ನಿಲ್ಲವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ: 3-5= -2. ಆಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಋಣ-ಅಂಕಗಳಿಗೂ ಸ್ಥಾನವಿದೆ.
ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅದರ ಹಿಂದೆ ಸದಾ '-'ಋಣ ಚಿನ್ಹೆ ಇರುವುದು.ಧನಾತ್ಮಕ (+2) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ (+ ಇಲ್ಲದೇ) ಬರೆಯುವ ರೂಡಿ, '+' ಇದೆ ಎಂದೇ ತಿಳಿಯಬೇಕು.
ಇವಲ್ಲದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅವೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಉದಾ: ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ:- 1,3,5,7,9,11,13 ಇತ್ಯಾದಿ
ಸರಿ ಅಥವಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:-2,4,6,8,10,12 ಇತ್ಯಾದಿ.
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ, ಅದೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಭಾಜಕಗಳುಳ್ಳ ಅಪವರ್ತ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗಳಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಕೆಗಳು -> 1,3,5,7.11,13, 17,19,23 ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವುಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳನ್ನುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18 ಇತ್ಯಾದಿ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು. ಈ ಅಂಕೆಗಳು ಬೇರೆ ಅಂಕೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಆಗಿವೆ. ಉದಾ:9, 10, 12, 14, 15 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅವೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಉದಾ: 2×2; 2×3; 2×2×2; 3×3; ಇತ್ಯಾದಿ. 2×2, 4ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು. 4=2×2 ಗುಣಕ.2ರ ಗುಣಕ; 2×2×2; 3×3; ಇತ್ಯಾದಿ. 2×2, 4ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು. 4= 2×2 ಗುಣಕ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು '×' ಗುರುತಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸುವರು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆವರಣ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3X4, 3•4, ಮತ್ತು (3)(4). ಇವೆಲ್ಲವೂ 3 ಬಾರಿ 4 ನ್ನು ಸೇರಿಸು ಅಥವಾ 4 ನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಸೇರಿಸು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರ ಒಂದೇ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಕಲನಕಷ್ಟ.; ಸಣ್ಣ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಸುಲಭಮಡಲು ಗುಣಾಕಾರದ ಮಗ್ಗಿಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಇದೆ. ಈ ಮಗ್ಗಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಟ 10 ರ ವರೆಗಾದರೂ ಬಾಯಿಗೆ ಕಲಿತು ಮನದಟ್ಟು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿಯ ಗುಣಾಕಾರ ಕಷ್ಟ.
ಇಲ್ಲಿ 4 ರಿಂದ 5 ನು ಗುನಣಿಸಿದರೆ ಬರುವ 20 ಮನೆಗಳು; 4X5 ಅಥವಾ 5X4=20ಒಂದೇ ಉತ್ತರ
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 4 ಮತ್ತು 3 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 3 \ ಬಾರಿ 4 ಬರೆದು ಅಥವಾ "3 ಬಾರಿ 4" ಎಂದು ಹೇಳಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ 3 ರ 4 ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾಗಿದೆ:
3 \ ಬಾರಿ 4 = 4 + 4 + 4 = 12
ಇಲ್ಲಿ 3 "ಗುಣ್ಯ" ಮತ್ತು 4 "ಗುಣಕ", ಮತ್ತು 12 "ಗುಣಲಬ್ಧ" ಆಗಿದೆ.
ಗುಣಾಕಾರದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳನ್ನು 4 ರ 3 ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪಡೆಯುವಂತೆ,ಪರಿವರ್ತನೀಯ 3 ರ 4 ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲೂ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:
4 \ ಬಾರಿ 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12ಇದು
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ (ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು) ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಡುತ್ತದೆ.
ದೊಡ್ಡ ಅಂಕೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ
ಉದಾಹರಣೆ 1: ಮಗ್ಗಿಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು
385 X 7
More information ಸಾವಿರ, ನೂರು ...
,
,
,
,
,
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ
ಸಾವಿರ
ನೂರು
ಹತ್ತು
ಬಿಡಿ
ವಿವರ
ಸಾವಿರ
ನೂರು
ಹತ್ತು
ಬಿಡಿ
3
8
5
ಗುಣ್ಯ
3
8
5
X 7
ಗುಣಕ
x7
21
56
35
ಬಿಡಿ ಹತ್ತು ನೂರರಲ್ಲಿದ್ದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು 7ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಜಾಗದಲ್ಲೇ ಬರೆದಿದೆ.
=300x7
=80x7
5x7
2100+
560+
=35
ಇದರ ಅರ್ಥ
,
3
8
5
ಗುಣ್ಯ
2
1
0
0
,
X7
ಗುಣಕ
5
6
0
,
3
5
35 ರಲ್ಲಿ 5 ನ್ನು ಬಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 53 ನ್ನು ದಶ ದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟಿದೆ.
3
5
,
5
6
56ರಲ್ಲಿ 6ನ್ನು ದಶದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 5ನ್ನು ಶತಕದ ಸಾಲಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದೆ.
2
1
21 ರಲ್ಲಿ 1 ನ್ನು ಶತಕದಲ್ಲೂ 2ನ್ನು ಸಹಸ್ರದಲ್ಲೂ ಬರೆದಿದೆ.
2
6
9
5
ಗುಣಲಬ್ಧ
2
6
9
5
Close
ದೊಡ್ಡ ಅಂಕೆ ಗುಣಾಕಾರ
ಲೆಕ್ಕ
67459 ನ್ನು 572 ರಿಂದ ಗುಣಿಸು:
ಎಂದರೆ - 67459 ನ್ನು 500 ರಿಂದ, 70ರಿಂದ ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಇವುಗಳಿಂದ ಬಂದ ಮೂರೂ ಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದರೆ 572 ರಿಂದ 67459 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ಗಣಲಬ್ಧ (ಉತ್ತರ) ಬರುತ್ತದೆ.
ವಾಡಿಕೆಯಂತೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬರುವ-10,100,ರ ಮುಂದಿನ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬರೆದಿದೆ. ಸುಲಭವೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಡಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ನಂತರ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ರೂಢಿಯಲ್ಲಿದೆ.
67459 x 572
::134918
:472213
337295
—————————
38586548
—————————
೦೦೦67459x2=134918
೦೧67459x70=4722130
೦67459x500=33729500
ಒಟ್ಟು ಗುಣಲಬ್ಧ =38586548
ಗಣಾಕಾರದ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳು: ೧. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೦ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಅರ ಮುಂದೆ ಒಂದು ೦ ಹಾಕಿದರೆ ಗುಣಲಬ್ಧ ಬರುವುದು.
೨. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೦೦ ರಿಂದ ಗಣಿಸಲು ಅದರ ಮುಂದೆ ೨ ಸೊನ್ನೆ ಹಾಕಬೇಕು. ಇದೇರೀತಿ ಸಾವಿರ, ಹತ್ತು ಸಾವಿರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹದು.
೩.ಯಾವುದೇ ಮುಂದೆ ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ಸೊನ್ನೆ ಯ ಹಿಂದಿನ ಅಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಮುಂದೆ ಗಣಕದಲ್ಲಿದ್ದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗುವುದು.
ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವಿರುದ್ಧದ, ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮ. 12ನ್ನು 4ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ವಿಭಾಗಮಾಡಲು ವಿಭಾಗ ಚಿಹ್ನೆ (12 ÷ 4), ಅಥವಾ ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ — (?), ಒಂದು ಓರೆಗೆರೆ(12/4), ಸಂಕೇಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ದೊಡ್ಡ ಅಂಕೆಗೆ ಆವರಣದ ಚಿನ್ಹೆಯನ್ನೂ{೫)೨೫(೫}ಬಳಸುವುದೂ ಇದೆ.
ಭಾಗಾಕಾರವು, ಒಂದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಒಂದು ಅಂಕಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕೆ 4, ಅಂಕೆ 12 ರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬಾರಿ ಇದೆ; ಹೀಗೆ 12 ನ್ನು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ 3 ಪಡೆದರೆ ಅದೇ ಅರ್ಥ.
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇಕಾದಷ್ಟು ಸಮ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದಕ್ಕೂ ಭಾಗಾಹಾರವೆಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾ. 12 ನ್ನು 3 ಸಮಭಾಗಗಳಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ ಪ್ರತಿಭಾಗಕ್ಕೆ 4 ಬರುವುದು.
ಇದು '÷' ಭಾಗಿಸುವ ಚಿನ್ಹೆ; ಇದನ್ನು 12÷4=3; 12/4=3 ಮತ್ತು 4)12(3; ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯಗೆ ‘ಭಾಜ್ಯ’(dividend); ಭಾಗಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಭಾಜಕ(divisor) ಎಂದೂ, ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಾಜಕವು ಎಷ್ಟು ಆವೃತಿ ಇದೆ ಎನ್ನುವ ಉತ್ತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ(quotient) ಎಂದೂ ಹೆಸರು. 12 ಮತ್ತು ಮೂರರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 12 ಭಾಜ್ಯ, 3 ಭಾಜಕ, 4 ಭಾಗಲಬ್ಧ. ಭಾಜಕ÷ಭಾಜ್ಯ =ಭಾಗಲಬ್ಧ; ಅಥವಾ ಭಾಜಕ)ಭಾಜ್ಯ(ಭಾಗಲಬ್ಧ. (dividend÷divisor=quotient),
ಭಾಗಾಹಾರದ ಸರಳ ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ: 12-3-3-3-3=0 12ರಿಂದ 3ನ್ನು 4 ಬಾರಿ ತೆಗೆಯಬಹುದು; ಅಥವಾ 12ರಲ್ಲಿ 3 ನಾಲ್ಕು ಭಾರಿ ಇದೆ; 12ನ್ನು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಾಗ ಮಾಡಿದರೆ ಪ್ರತಿ ಭಾಗಕ್ಕೆ 3 ಬರುವುದು.
ಶೇಷ-(remainder):- ಉದಾ: 27 ರಲ್ಲಿ 6 ನ್ನು 4 ಆವೃತಿ ಕಳೆದರೆ 3 ಉಳಿಯುವುದು. 27 ಭಾಜ್ಯ, 6 ಭಾಜಕ, 4 ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು 3 ಶೇಷ.
···ಭಾಗಾಹಾರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧ; ನಿಶ್ಶೇಷ ಭಾಗಾಹಾರ ;24 ಭಾಜ್ಯ, 6 ಭಾಜಕ, 4 ಭಾಗಲಬ್ಧ, ಶೇಷವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಸಶೇಷ ಭಾಗಾಹಾರ ಅದರಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಉಳಿಯುವುದು.
1. ಭಾಜ್ಯವು ವಸ್ತುಸೂಚಕವಾಗಲಿ ಶುದ್ಧಸಂಖ್ಯಯಾಗಲಿ ಆಗಿರಬಹುದು. ಭಾಜ್ಯವು ಶುದ್ಧಸಂಖ್ಯೆಯಗಿದ್ದರೆ ಭಾಜಕವೂ ಶುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಆಗ ಭಾಗಲಬ್ಧವೂ ಶುದ್ಧಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದು. ಉದಾ:24÷6=4.
2. ಭಾಜ್ಯವು ವಸ್ತುಸೂಚಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಭಾಜಕವೂ ಶುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಲಿ ಭಾಜ್ಯದಂಥ ಒಂದು ವಸ್ತುಸೂಚಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಆಗ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಭಾಜ್ಯದಂಥ ಒಂದು ವಸ್ತುಸೂಚಕ ಅಥವಾ ಶುದ್ಧಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದು. ಉದಾ: 25ರೂ.÷ 5 = 5 ರೂ. ಅಥವಾ 5 ಹಣ್ಣಿಗೆ 25ರೂ.: 25ರೂ.÷5ಹಣ್ಣು = 5 ರೂ. ಒಂದು ಹಣ್ಣಿಗೆ.
3. ಒಂದು ಶುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಸ್ತುಸೂಚಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಉದಾ: 25 ನ್ನು 5ರೂ,ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಬರದು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಇತ್ಯಾದಿ.
ಉದಾಹರಣೆ
2961 ÷ 7:
2961 ಭಾಜ್ಯ, 7 ಭಾಜಕ ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳಿವೆ, ಸಹಸ್ರ, ನೂರು, ದಶ, ಬಿಡಿ. ಭಾಜ್ಯ 2961 ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಾಜ್ಯದ ಪ್ರತಿಭಾಗದಲ್ಲಿಯೂ ಭಾಜಕವು (7)ಎಷ್ಟಾವೃತ್ತಿ ಇದೆ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬೇಕು. ಆಗ ಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ (2961) ಭಾಜಕವು(7) ಅಷ್ಟೇ ಅವೃತಿ ಇದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.
ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದ್ದತಿ:
.......↓↓
7)2961(423
(-)28
*-----*
.....16
..(-)14
*------*
.......21
.. ..(-)21
*-----*
.....೦೦..ಶೇಷ
ಉದಾ:1
7)14(2
.. 14
-.-——
....00.. = 14ರಲ್ಲಿ 2 ಸಲ ಏಳು ಇದೆ.
ಉದಾ; 2
7)2961(400+20+3=423 ಭಾಗಲಬ್ಧ
...2800
-——-——
...161
....140
-——-——
....21
ವಿವರ: 2961= 2000+900+60+1
2೦೦೦ ದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಾವಿರ 7 ಗಳಿವೆ- ಇಲ್ಲ; ಅದರಿಂದ 29 ನೂರುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ನೂರು 7 ಗಳವೆ ನೋಡಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ 400 ಏಳುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಬಲ ಕಂಸದಲ್ಲಿ ಗುರುತು ಹಾಕಿದೆ. ಅದನ್ನು ಕಳೆದು, ಈಗ 161 ಉಳಿಯಿತು; ಅದರಲ್ಲಿ 20 ಏಳುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗುರುತು ಹಾಕಿದೆ. ನಂತರ ಉಳಿದ 21ರಲ್ಲಿ 3 ಏಳುಗಳಿವೆ. ನಂತರ ಶೇಷ ಏನೂ ಉಳಿದಿಲ್ಲ.
2961 ರಲ್ಲಿ 400+20+3 = 423 ಸಲ ಏಳು ಇದೆ. 423 ಭಾಗಲಬ್ಧ
ಉದಾಹರಣೆ-2
ಲೆಕ್ಕ -:44393 ನ್ನು 145 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸು-
145)44393(300+0+6=306
..(-)43500
--—-----—--·(443೦೦ -43500=800-1450; ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ,ಅದರಿಂದ 10ರ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ '0'.
........8↓9↓3 ***(0)9ನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತಂದರೆ 89ರಲ್ಲಿ ೧೪೫ ಒಂದು ಬಾರಿಯೂ ಇಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ 10ರ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ೦;
.........893
.......(-)870 **870×6: 870 ರಲ್ಲಿ 6 ಭಾರಿ 145 ಇದೆ. ಮತ್ತೂ 23 ಹೆಚ್ಚು ಇದೆ
-----—------·
...........23 ಶೇಷ.
*ಒಂದು ಬಾರಿ ಭಾಗಿಸಿ ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಅಂಕೆಯನ್ನ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ಅದು ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧದ 10ರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ '0' ಇಡಬೇಕು.
ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಗಳಿಂದ ಭಾಗಾಹಾರ: ೧೨ ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ದವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹದು. ಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದದು.
ಅಂಕೆ 158458 ನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.
9)158468(17607 ಭಾಗಲಬ್ಧ; ಶೇಷ =5.
9 ರಿಂದ 15ನ್ನು ಭಾಗಿಸು,1 ಬಾರಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 1 ಬರೆ; 15 ರಲ್ಲಿ 9ಕಳೆದು ಉಳಿದ 6 ಕ್ಕೆ ಎದರು 8ನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದರೆ 68 ಆಯಿತು, ಅದನ್ನು ಪುನಹ 9ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ (97ಅಥವಾ 9್ಠ7:68-63) ಶೇಷ 5 ರ ಎದುರು 4ನ್ನು ತಂದರೆ 54, ಅದನ್ನು ಪುನಹ 9ರಿಂದ ಭಾಗಿಸು, 9*6,6ನ್ನು ಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಬರೆ, ಶೇಷ 0, ಅದರೆದುರು 5 ಇಳಿಸು, ಹಾಗೆ ಇಳಿಸಿದಾಗ 9ರಿಂದ ಭಾಗಿಸು,9 ಕ್ಕಿಂತ 6 ಚಿಕ್ಕದು, ಭಾಗಿಸಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಹಾಗಿದ್ದಾಗ ಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ 0 ಬರೆಯಬೇಕು. 6 ರ ಮುಂದೆ 8ನ್ನು ತರಬೇಕು, 68 ಆಯಿತು; ಅದನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ (689=7)ಬಂದ 7ನ್ನು ಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಬರೆ, ಉಳದುದು ಶೇಷ 5. ಅಬ್ಯಾಸದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗುವುದು. ಕೈಗಣಕಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸುಲಭ ಆದರೆ ಅದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸರಳಗಣಿತದ ಸಂಕಲನ,ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಹಾರ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು.
ಇದಲ್ಲದೆ ಸರಳಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ದಶಾಂಶ ಪದ್ದತಿಗಳಲ್ಲಿ,ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ,ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಹಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳು. ಈಗಿನ ಅಂಕಗಣಿತ (Arithmetic) ಮತ್ತು ಗಣಿತ (mathematics)ಗಳಲ್ಲಿ ಗಣ-ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನೂ(ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ), ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮಿಳಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವು ಅಮೂರ್ತ(abstract) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು. ಚಿಕ್ಕ ಮಕ್ಕಲಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದೆಂಬುದೂ ಅವರ ನಿಜಜೀವನದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಪ್ರಯೋಗವಾಗುದೆಂಬುದೂ ತಜ್ಷರಿಗೆ ಬಿಟ್ಟವಿಷಯ.
ತ್ರೈರಾಶಿ (ಏಕಮಾನ ಪದ್ದತಿ?)
ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ
ತ್ರೈರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ೧೦ ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟು, ಅದೇ ದರದಲ್ಲಿ(ಉದಾ) ಆರು ಅಥವಾ ಏಳು ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದು ನಂತರ ೬ ಅಥವಾ ೭ ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು; ೧ ವಸ್ತುವಿನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು/ಗುಣಿಸುವುದು. ಇದು ಮೂರುಸಾಲಿನ ಲೆಕ್ಕ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ತ್ರೈರಾಶಿ.
ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿಗೂ ಬೆಲೆಗೂ ಇರುವ ಪ್ರಮಾಣದ ಆದಾರದಿಮದ ಬೇಕಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ತಂದರೆ ಬೇಕಾದ ಉತ್ತರ ಸಿಗುವುದು. ಇದು ಎರಡೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನ. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಗಹನ/ಅಮೂರ್ತ ಮತ್ತು ಬೌದ್ಧಿಕ ಮಾರ್ಗ೩.
ಕೂಡಿಸು,ಕಳೆ,ಗುಣಿಸು,ಭಾಗಿಸು ಇವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪರಿಕ್ರಿಯೆಗಳು .
