Интералдық теңдеулер - ішінде белгісіз функцияны интегралдау кездесетін теңдеулер.
Интегралдық теңдеулерді санаттау
Сызықтық Интегралдық теңдеулер
Бұл белгісіз функция сызықтық түрде берілетін Интегралдық теңдеулер:
![{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e201b44786e8701957def632b1476d11863cef7)
мұндағы
— искомая функция,
,
— белгілі функциялар,
— параметр.
функциясы Интегралдық теңдеудің ядросы болып табылады. Ядросы мен бос мүшесінің түрлеріне қарай сызықтық Интегралдық теңдеулерді тағы жіктеуге болады.
Фредгольм теңдеулері
Толық мақаласы: Фредгольмның Интегралдық теңдеулері
2-ші түрдегі Фредгольм Интегралдық теңдеулері
Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:
![{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c32ff74673740fc08db5687e817fdcebbeb339)
Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады:
, ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек:
, немесе келесі шарт орындалу керек:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}|K(x,\;s)|^{2}\,dx\,ds<+\infty ,\qquad \int \limits _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx<+\infty .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512952d258454a90a12ad65c386bf2ac25eb586b)
Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар фредгольмдік деп те аталады. Егер
интервалында
болса, онда теңдеу біртекті, әйтпесе біртексіз интегралдық теңдеу деп аталады.
1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері
1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b55b48b31f240b7f584ba74b042313f786137a)
ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.
Вольтерра теңдеулері
Толық мақаласы: Вольтерра Интегралдық теңдеулері
2-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері
Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:
![{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6305cec04793d06237d530dacfff3e477a18ccb8)
1-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері
Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a913d3ee9caeadd2809abf6568ff12102ac662b8)
Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:
![{\displaystyle {\mathcal {K}}(x,\;s)={\begin{cases}K(x,\;s),&a\leqslant s\leqslant x,\\0,&x<s\leqslant b.\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149f27c5ab4e97ca833899d1b3132222055bbf27)
Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.
Сызықтық емес теңдеулер
Бұндай теңдеулердің шексіз түрелін келтіруге болады. Төменде тек маңызды әрі қолданбалы түрлері анықталған.
Урысон теңдеулері
Толық мақаласы: Урысон Интегралдық теңдеулері
![{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cfc5f186874b3a6b04e5b740b6ea922db8876f)
Тұрақты
— оң сан, алдын ала анықтау кей жағдайда мүмкін емес.
Гаммерштейн теңдеулері
Толық мақаласы: Гаммерштейн Интегралдық теңдеулері
Гаммерштейн теңдеуі Урысон теңдеулерінің жекеше маңызды түрі:
![{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d13bcd5de5fba1f2d80000f69ab6f9826ddbe3)
мұндағы
— фредгольмдік ядро.
Ляпунов — Лихтенштейн теңдеулері
Ляпунов — Лихтенштейн аттарымен айтарлықтай сызықтық емес операторлары бар теңдеулерді айтады, мысалы:
![{\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13834d6e7692e73982adc264842317ec7155fed2)
Вольтерра сызықтық емес теңдеулері
![{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b1615ec4c29daf026fe049106c26ec09806e5d)
мұндағы функция
барлық айнымалылары бойыншща үзіліссіз.
Дереккөздер