Дағдылы сан

Дағдылы сандар — заттарды табиғи санау кезінде, немесе реттік санау кезінде пайдаланылатын сандар.

Дағдылы сандар санау үшін пайдаланылуы мүмкін (бір алма, екі алма, үш алма, …).

Дағдылы сандарды екі түрде айқындауға болады:

• заттарды реттік санау (нөмірлеу) кезіндегідей (бірінші, екінші, үшінші, …)
• заттардың санын айтуға, немесе шектеулі жиындардың қуаттылығын сипаттауда (біреу, екеу, үшеу, …)

Теріс, бүтін емес сандар — дағдылы сандарға жатпайды. Дағдылы сандар жиынын ${\displaystyle \mathbb {N} }$ нышанымен белгілейді. Дағдылы сандар жиыны шексіз — кез келген дағдылы сан берілсе, одан да үлкен дағдылы сан табылады.

Пеано аксиомалары

Толық мақаласы: Пеано аксиомалары

x санына осыдан кейінгі келесі санды қоятын S функциясын енгізейік.

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$ (${\displaystyle 1}$ - натурал сан);
2. Егер ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$, онда ${\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} }$ (Натурал саннан кейінгі келесі сан да натурал болады);
3. ${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)}$ (1 санының аолында еш натурал сан жоқ);
4. Егер ${\displaystyle S(b)=a}$ және ${\displaystyle S(c)=a}$, онда ${\displaystyle b=c}$ (егер ${\displaystyle a}$ натурал саны бір уақытта бірден ${\displaystyle b}$-дан кейінгі, әрі бірден ${\displaystyle c}$-дан кейінгі натурал сан болса, онда ${\displaystyle b=c}$);
5. Толық индукция аксиомасы. ${\displaystyle P(n)}$ — натурал ${\displaystyle n}$ параметріне байланысты әлдебір бірорынды предикат болсын. Сонда:

егер ${\displaystyle P(1)}$ және ${\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))}$, онда ${\displaystyle \forall n\;P(n)}$

(Егер әлдебір тұжырым ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n=1}$ үшін орындалса (индукция негізі) және кез келген ${\displaystyle n}$ үшін, ${\displaystyle P(n)}$ дұрыс деп жорамалданса ${\displaystyle P(n+1)}$-де орындалса (индукция жорамалы), онда ${\displaystyle P(n)}$ барлық натурал ${\displaystyle n}$ саны үшін орындалады.

Негізгі қасиеттері

1. Қосудың коммутативтігі. ${\displaystyle \,\!a+b=b+a}$
2. Көбейтудің коммутативтігі. ${\displaystyle \,\!ab=ba}$
3. Қосудың ассоциативтігі. ${\displaystyle \,\!(a+b)+c=a+(b+c)}$
4. Көбейтудің ассоциативтігі. ${\displaystyle \,\!(ab)c=a(bc)}$
5. Көбейтудің қосуға қатысты дистрибутивтігі. ${\displaystyle \,\!{\begin{cases}a(b+c)=ab+ac\\(b+c)a=ba+ca\end{cases}}}$

Натурал сандар

Натурал сандар арқылы математикалық талдаудың негізгі түсінігі – нақты сан анықталады. Сан ұғымын логикалық талдау жасау теориялық арифметиканың үлесіне тиген.

Ежелгі замандардағы санау және қарапайым өлшеулердің қажеттелігінен туындаған арифметика – тұрмыстық қажеттілік, есептеу, қашықтық өлшеу, уақыт анықтау, аудан шамасын анықтау және өзгедей ғылымдардың сұранысы мен мұқтаждықтарын қанағаттандыру мақсатында дамытылған. Алғашқы кездері санау – мөлшері көп емес нәрселердің жиынын анықтау үшін қолданылғаны белгілі. Үйреншікті санау шегінен артық болған заттар “көп” деген бір атаумен аталған.

Дереккөздер

Математика әлемі