საშუალო კვადრატული

მათემატიკაში და ფიზიკაში საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის ცვალებადი სიდიდის სტატისტიკური მახასიათებელი. ეს ცნება განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ისეთი ცვლადი სიდიდეების დასახასითებლად, რომელთა მნიშვნელობა შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგალითად სინუსოიდალური რხევისთვის.

განმარტება

რაიმე დისკრეტული სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა განიმარტება როგორც კვადრატული ფესვი ამ მნიშვნელობების კვადრატების საშუალო არითმეტიკულიდან. ${\displaystyle n}$ მნიშვნელობისათვის ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$, საშუალო კვადრატული არის:

${\displaystyle x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}.}$

ანალოგიურ ფორმულას უწყვეტი ფუნქციისთვის ${\displaystyle f(t)}$ რომელიც განსაზღვრულია რაიმე ${\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}$ შუალედში არის

${\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},}$

ხოლო უსასრულო ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის

${\displaystyle f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.}$

ტიპური ფუნქციების საშუალო კვადრატული

ფუნქცია	განტოლება	საშუალო კვადრატული
სინუსოიდალური ტალღა	${\displaystyle y=a\sin(2\pi ft)\,}$	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$

გამოყენება

რაიმე ცვლადი სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში.

საშუალო ელექტრული სიმძლავრე

სიმძლავრე ${\displaystyle P}$, რომელიც გამოიყოფა რაიმე ${\displaystyle R}$წინაღობაზე მარტივად გამოითვლება თუ დენის ძალა ${\displaystyle I}$ მუდმივია. ასეთ შემთხვევაში

${\displaystyle P=I^{2}R.\,\!}$

თუ დენი დროში ცვლადი ფუნქციაა ${\displaystyle I(t)}$, მაშინ ეს ფორმულა განზოგადებას საჭიროებს. თუ დენი დროის პერიოდული ფუნქციაა მაშინ საშუალო სიმძლავრე გამოითვლება ფორმულით

${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }\,\!}$	${\displaystyle =\langle I(t)^{2}R\rangle \,\!}$ (სადაც ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ აღნიშნავს ფუნქციის საშუალოს)
	${\displaystyle =R\langle I(t)^{2}\rangle \,\!}$ (R მუდმივია დროში)
	${\displaystyle =(I_{\mathrm {RMS} })^{2}R\,\!}$ (საშუალო კვადრატულის განსაზღვრებიდან)

ასე რომ საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა ${\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }}$ რაიმე ${\displaystyle I(t)}$ დენისა არის მუდმივი დენის ის მნიშვნელობა, რომელსაც იგივე საშუალო სიმძლავრე აქვს.

ტიპურ შემთხვევაში, როდესაც დენი არის სინუსოიდალური ფუნქცია, საშუალო სიმძლავრე მარტივად გამოითვლება ზემოთ მოყვანილი განტოლებებიდან. გვაქვს

${\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{(I_{\mathrm {p} }\sin(\omega t)}\,})^{2}dt}}.\,\!}$

სადაც t არის დრო, ხოლო ω არის კუთხური სიხშირე (ω = 2π/T, სადაც T არის ტალღის პერიოდი).

ვინაიდან ${\displaystyle I_{\mathrm {p} }}$ არის დადებითი მუდმივი სიდიდე:

${\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}$

ტრიგონომეტრიული იგივობების გამოყენებით მივიღებთ:

${\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}}$

მაგრამ ვინაიდან ინტეგრების ინტერვალი მოიცავს რხევის ციკლების მთელ რაოდენობას ${\displaystyle \sin }$ შემცველი წევრები გაბათილდება და გვექნება:

${\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}.}$

საშუალო კვადრატული სიჩქარე

ფიზიკაში საშუალო კვადრატული სიჩქარე განიმარტება როგორც აირის მოლეკულების სიჩქარეების საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა. თუ აირი აღიწერება მაქსველის განაწილებით, მაშინ გვაქვს:

${\displaystyle {v_{\mathrm {RMS} }}={\sqrt {3RT \over {M}}}}$

სადაც ${\displaystyle R}$ არის აირის უნივერსალური მუდმივა (8.314 ჯ/(მოლ·კ)), ${\displaystyle T}$ არის აირის ტემპერატურა კელვინებში, ხოლო ${\displaystyle M}$ არის აირის მოლური მასა კილოგრამებში.

იხილეთ აგრეთვე

• საშუალო კვადრატული ცდომილება
• საშუალო კვადრატული გადახრა