ვექტორი

ვექტორი (ლათ. vector—გადამტანი) — წარმოადგენს წრფივი სივრცის ელემენტს და იმავდროულად ოპერანდს წრფივ სივრცეში განსაზღვრული შეკრების და რიცხვზე გამრავლების ოპერაციებისთვის. არსებობს ვექტორის არაკოორდინატული და კოორდინატული განსაზღვრებანი. ეს უკანასკნელი გულისხმობს გარკვეულ ფიქსირებულ კოორდინატთა სისტემას, მაშინ როდესაც არაკოორდინატული განსაზღვრება აქსიომატური ხასიათისაა.

a ვექტორი სამგანზომილებიან სივრცეში. i, j, k ერთეულოვანი ვექტორებია

ვექტორის კოორდინატული განსაზღვრება

n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის ვექტორი წარმოადგენს n რიცხვისგან შემდგარ დალაგებულ სისტემას

${\displaystyle \alpha =(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$,

სადაც ${\displaystyle a_{i}}$ რიცხვებს, ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ ეწოდება ${\displaystyle \alpha }$ ვექტორის კომპონენტები.

ვექტორის მაგალითია ვექტორ-მონაკვეთი, რომელიც გამოდის სიბრტყის ან სამგანზომილებიანი სივრცის კოორდინატთა სათავიდან და შესაბამისად წარმოადგენს ორ ან სამგანზომილებიან ვექტორს. წრფივ განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი ასევე წარმოადგენს ვექტორის კარგ მაგალითს.

ვექტორი ${\displaystyle \alpha }$ და ${\displaystyle \beta =(b_{1},b_{2},...b_{n})}$ ითვლებიან ტოლებად იმ შემთხვევაში, თუ მათი შესაბამისი კომპონენტები ტოლია, ანუ ${\displaystyle a_{i}=b_{i},i=1,2,...,n.}$

ვექტორთა ჯამი ეწოდება შემდეგ ვექტორს

α + β = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., a_n + b_n)

რომლის თითოეული კომპონენტი წარმოადგენს შესაკრებ ვექტორთა შესაბამისი კომპონენტების ჯამს. ვექტორთა ჯამი კომუტატიური და ასოციატიურია:

α + β = β + α

(α + β) + γ = α + (β + γ)

იგიური ელემენტის როლს თამაშობს ნულოვანი ვექტორი:

0 = (0, 0, ..., 0)

მართლაც,

α + 0 = (a₁ + 0, a₂ + 0, ..., a_n + 0) = (a₁, a₂, ..., a_n) = α

α = (a₁, a₂, ..., a_n) ვექტორის მოპირდაპირე ვექტორი ვუწოდოთ

-α = (-a₁, -a₂, ..., -a_n)

ვექტორს. ცხადია, რომ

α + (-α) = 0.

აქედან გამომდინარე, ჯამის პარალელურად შესაძლოა განისაზღვროს ვექტორთა სხვაობა α - β = α + (-β), ანუ

α - β = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, ..., a_n - b_n)

ვექტორის რიცხვზე ნამრავლი განისაზღვრება როგორც ვექტორი

kα = (ka₁, ka₂, ..., ka_n),

სადაც მიღებული ვექტორის თითოეული კომპონენტი წარმოადგენს α ვექტორის შესაბამისი კომპონენტის k რიცხვზე ნამრავლს. ჩამოვთვალოთ ნამრავლის მნიშვნელოვანი თვისებები:

k(α ± β) = kα ± kβ

(k ± m)α = kα ± mα

k(mα) = km(α)

1α = α

0α = 0

(-1)α = -α

k0 = 0

თუ kα = 0, მაშინ ან k = 0, ან α = 0

ვექტორის არაკოორდინატული (აქსიომატური) განსაზღვრება

ვთქვათ, მოცემულია რაიმე სიმრავლე V, რომლის ელემენტებსაც ჩვენ ავღნიშნავთ ბერძნული ასოებით

α, β, γ, ...

განვსაზღვროთ V სიმრავლეში ოპერაცია შეკრება როგორც მოქმედება, რომელიც ნებისმიერ α, β - ს V-დან ცალსახად შეუსაბამებს α + β ელემენტს (ჯამს) V-დან. ოპერაცია ნამდვილ რიცხვზე გამრავლება კი ნებისმიერ α - ს V-დან ასევე ცალსახად უთანადებდეს მის ნამდვილ რიცხვზე ნამრავლს V-დან.

V-ს ელემენტებს ეწოდება ვექტორები (და თავად V წარმოადგენს წრფივ სივრცეს), თუ ზემოხსენებულ ოპერაციებს გააჩნიათ შემდეგი თვისებები:

1. კომუტატიურობა: α + β = β + α.
2. ასოციატიურობა: (α + β) + γ = α + (β + γ).
3. V-ში არსებობს იგიური ელემენტი 0, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობას: α + 0 = α (მტკიცდება მისი ერთადერთობა).
4. ნებისმიერი α ელემენტისთვის V-დან არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი -α € V ისეთი, რომ α + (-α) = 0 (მტკიცდება მისი ერთადერთობაც).
5. k(α + β) = kα + kβ.
6. (k + m)α = kα + mα.
7. (km)α = k(mα).
8. 1α = α.

იხილეთ აგრეთვე

• ტენზორული აღრიცხვა
• ვექტორული აღრიცხვა