関数解析学(かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。)は数学(特に解析学)の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している[1][2][3][4]。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される[1][2][3][4]。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い[1][2][3]。また、無限次元空間上での微分 (フレシェ微分など) を扱うため、無限次元空間上での微分積分学という捉え方も可能である[4]。
関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である[5][6]。また、コンピュータが高度に発達した現代においては数値解析(特に有限要素法、精度保証付き数値計算)において微分方程式の解の存在を議論するためなどに使われる他[7][8][9][10][11]、機械学習にも応用される[12]。
関数解析の基礎-
次元の微積分-, 堀内利郎 & 下村勝孝, 内田老鶴圃.
大石進一 et. al. (2018), 精度保証付き数値計算の基礎, コロナ社. 中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算 チュートリアル: 応用数理最前線.
中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, サイエンス社.
洋書
- Kantorovich, L. V., & Akilov, G. P. (1982). Functional Analysis en:Pergamon Press. University of Michigan.
- Yosida, K. (1995). Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg.
- Brezis, H. (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. en:Springer Science & Business Media.
- Adams, R. A., & Fournier, J. J. (2003). Sobolev Spaces. Elsevier.
- Deimling, K. (2010). Nonlinear functional analysis. Courier Corporation.
- Berger, M. S. (1977). Nonlinearity and functional analysis: lectures on nonlinear problems in mathematical analysis. en:Academic Press.
- Schwartz, J. T., Schwartz, L., & Karcher, H. (1969). Nonlinear functional analysis. en:CRC Press.
- Zeidler, E., Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I-V. en:Springer Science & Business Media.
- Zeidler, E. (2012). Applied functional analysis: main principles and their applications. en:Springer Science & Business Media.
- Zeidler, E. (2012). Applied functional analysis: applications to mathematical physics. en:Springer Science & Business Media.
- Collatz, L. (2014). Functional analysis and numerical mathematics. en:Academic Press.
- Computational Functional Analysis 2nd Edition, Ramon Moore & Michael Cloud (2007), Woodhead Publishing.
- Lebedev, V. I. (2000). Functional analysis and computational mathematics. Moscow: Fizmatlit.
- en:Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Dunod, 2005.
和書
- 増田久弥, 関数解析, 裳華房.
- 復刊 位相解析―理論と応用への入門、加藤敏夫、共立出版。
- 位相解析の基礎, 吉田耕作, 河田敬義, 岩村聯, 岩波書店.
- 関数解析―その理論と応用に向けて, 藤田宏, 小西芳雄, Brezis H., 産業図書.
- 藤田宏、理解から応用への関数解析、岩波書店。
- 藤田宏、黒田成俊、伊藤清三、関数解析、岩波書店。
- 黒田成俊、関数解析、共立出版。
解説記事
- 吉田耕作. (1982). 函数解析 50 年. 数学, 34(4), 354-364.